L OM - II - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k \geq 2 $ oraz liczby całkowite $ a_1, a_2,\ldots, a_n $ spełniające warunki

\[<br />
a_1 + 2^i a_2 + 3^i a_3 + \ldots + n^i a_n = 0\ \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, k-1.<br />
\]

Dowieść, że liczba $ a_1 + 2^k a_2 + 3^k a_3 + \ldots + n^k a_n $ jest podzielna przez $ k! $.

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby całkowitej $ m \geq k $ liczba $ {m \choose k} $ jest całkowita. Stąd dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $ m $ liczba $ m(m-1)(m-2)\ldots(m-k+1) $ jest podzielna przez $ k! $. Istnieją więc takie liczby całkowite $ b_1,b_2,\ldots,b_{k-1} $, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $ m $,

\[<br />
m^k \equiv b_1m+b_2m^2 +\ldots+b_{k-1}m^{k-1} (\mathrm{mod}\ k!).<br />
\]

Mnożąc powyższą kongruencję przez $ a_m $, a następnie dodając stronami od $ m =1 $ do $ m = n $ otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
a_1 +2^ka_2 +\ldots+n^ka_n \equiv &<br />
  b_1(a_1 +2a_2 +\ldots+na_n)+b_2(a_1 +2^2a_2 +\ldots+n^2 a_n)+\ldots \\<br />
&\qquad\ldots+b_{k-1}(a_1 +2^{k-1}a_2 +\ldots+n^{k-1}a_n)=<br />
\\<br />
&= 0 (\mathrm{mod}\ k!).<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź