L OM - III - Zadanie 1

Punkt $ D $ leży na boku $ BC $ trójkata $ ABC $, przy czym $ AD > BC $. Punkt $ E $ leży na boku $ AC $ i spełnia warunek

\[<br />
\frac{AE}{EC}= \frac{BD}{AD - BC}.<br />
\]

Udowodnić, że $ AD > BE $.

Rozwiązanie

om50_3r_img_1.jpg

Uzupełniamy trójkąt $ BDA $ do równoległoboku $ BDAF $. Na półprostej $ BC^\to $ odkładamy odcinek $ BK $ o długości $ AD $. Dana w zadaniu zależność przyjmuje teraz postać

\[<br />
\frac{AE}{EC}=\frac{AF}{CK}.<br />
\]

Z tej równości oraz z równoległości odcinków $ CK $ i $ AF $ wynika, że punkty $ F $, $ E $, $ K $ są współliniowe.

Punkt $ E $ leży więc na podstawie $ KF $ trójkąta równoramiennego $ BKF $. Stąd dostajemy $ BF >BE $, czyli $ AD > BE $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź