LX OM - II - Zadanie 4

Odcinek $ AB $ jest średnicą okręgu o opisanego na czworokącie wypukłym $ ABCD $, którego przekątne
przecinają się w punkcie $ E $. Proste styczne do okręgu o w punktach $ C $ i $ D $ przecinają się w punkcie
$ P $.

Udowodnić, że $ PC = PE $.

Rozwiązanie

Niech $ Q $ będzie punktem przecięcia prostych $ AD $ i $ BC $.

Zauważmy najpierw, że na mocy warunków zadania proste $ AC $ i $ BD $ są wysokościami trójkąta $ ABQ $.
Zatem prosta $ QE $ jest jego trzecią wysokością i wobec tego przecina prostą $ AB $ w pewnym punkcie $ F $
pod kątem prostym.

W trójkącie $ ECQ $ kąt przy wierzchołku $ C $ jest prosty, a środek $ P' $ odcinka $ QE $ jest środkiem
przeciwprostokątnej. Stąd uzyskujemy zależności $ \measuredangle P'CQ=\measuredangle P'QC =\measuredangle FQB $.
Ponadto trójkąty prostokątne $ ACB $ i $ QFB $ mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku $ B $,
zatem ich pozostałe kąty ostre są równe: $ \measuredangle FQB = \measuredangle CAB $.
Udowodniliśmy tym samym, że

\[<br />
\measuredangle P'CQ = \measuredangle CAB.<br />
\]

To oznacza, że prosta $ P'C $ jest styczna do okręgu o w punkcie $ C $.

Podobnie dowodzimy, że prosta $ P'D $ jest styczna do okręgu o w punkcie $ D $.
Stąd i z określenia punktu $ P $ wynika, że $ P'=P $. Innymi słowy, punkt $ P $ jest środkiem przeciwprostokątnej
w trójkącie prostokątnym $ ECQ $, skąd natychmiast wynika żądana równość $ PC = PE $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź