L OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieją takie liczby naturalne $ n_1 <n_2 < \ldots < n_{50} $, że

\[<br />
n_1 + S(n_1)= n_2 + S(n_2)= n_3 + S(n_3)= \ldots = n_{50} + S(n_{50}) ,<br />
\]

gdzie $ S(n) $ jest sumą cyfr liczby $ n $.

Rozwiązanie

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

\[<br />
\begin{split}<br />
a_1(k)&=10^{10^k+k+1}-9\cdot 10^k=\underbrace{9999\ldots 99}_{10^k}1\underbrace{0000\ldots 00}_{k}\ ,\\<br />
a_2(k)&=10^{10^k+k+1}=1\underbrace{0000\ldots 00}_{10^k+k+1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Wówczas $ a_1(k)+ S (a_1(k)) = a_2(k)+ S (a_2(k)) = 10^{10^k+k+1} +1 $. Określamy liczby $ k_0,k_1,k_2,\ldots $ wzorami:

\[<br />
k_0 = 0\ \textrm{oraz}\ k_{i+1} = 10^{k_i} + k_i + 2\ \textrm{dla}\ i \geq 0 .<br />
\]

Dla dowolnego ciągu $ \varepsilon=(\varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_5) $, gdzie $ \varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_5 \in \{1, 2\} $, przyjmijmy

\[<br />
 n_\varepsilon = \sum_{i=0}^{5} a_{\varepsilon_i} (k_i) .<br />
\]

Otrzymane w ten sposób $ 64 $ liczby $ n_\varepsilon $ są parami różne. Wykażemy, że dla wszystkich 64 ciągów $ \varepsilon $, wielkości $ n_\varepsilon + S(n_\varepsilon) $ są jednakowe.

Ponieważ dla $ i \in\{0, 1, 2, 3, 4, 5\} $ liczba $ a_{\varepsilon_i} (k_i) $ jest co najwyżej $ k_{i+1} $-cyfrowa i ma co najmniej $ k_i $ zer końcowych, więc żadne dwie z liczb $ a_{\varepsilon_i} (k_i) $ i $ a_{\varepsilon_j} (k_j ) $ (dla $ i\neq j $) nie mają niezerowych cyfr na tym samym miejscu dziesiętnym. Stąd

\[<br />
S( n_\varepsilon) = \sum_{i=0}^{5} S(a_{\varepsilon_i} (k_i)) .<br />
\]

Zatem

\[<br />
n_\varepsilon + S(n_\varepsilon)= \sum_{i=0}^{5} (a_{\varepsilon_i} (k_i) + S(a_{\varepsilon_i} (k_i)))=6+\sum_{i=0}^{5}10^{10^{k_i}+k_i+1},<br />
\]

co jest wielkością niezależną od $ \varepsilon $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź