L OM - III - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb naturalnych $ n \geq 2 $ układ równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{c}<br />
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+50=16x_{1}+12x_{2}\\<br />
x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+50=16x_{2}+12x_{3}\\<br />
x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+50=16x_{3}+12x_{4}\\<br />
\vdots\\<br />
 x_{n-1}^{2}+x_{n}^{2}+50=16x_{n-1}+12x_{n}\\<br />
x_{n}^{2}+x_{1}^{2}+50=16x_{n}+12x_{1}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych $ x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n $.

Rozwiązanie

Równanie $ x_1^2 + x_2^2+50 = 16x_1 + 12x_2 $ jest równoważne równaniu

\[<br />
(x_1 - 8)^2 +(x_2 - 6)^2 = 50 .<br />
\]

Liczby $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ spełniają dany w treści zadania układ równań wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $ (x_1,x_2), (x_2,x_3), \ldots, (x_n,x_1) $ leżą na okręgu o środku $ (8, 6) $ i promieniu $ \sqrt{50} $. Na tym okręgu leży $ 12 $ punktów o współrzędnych całkowitych: $ (1, 5) $, $ (1, 7) $, $ (3, 1) $, $ (3, 11) $, $ (7, -1) $, $ (7, 13) $, $ (9, -1) $, $ (9, 13) $, $ (13, 1) $, $ (13, 11) $, $ (15, 5) $, $ (15, 7) $.

om50_3r_img_2.jpg

Ponieważ każda z liczb $ x_i $ występuje raz jako odcięta, a raz jako rzędna punktu kratowego leżącego na tym okręgu, wiec liczby $ x_i $ mogą przyjmować tylko wartości $ 1 $, $ 7 $ lub $ 13 $. To pozostawia nam trzy możliwe układy dla par $ (x_i,x_{i+1}) $, a mianowicie: $ (1, 7) $, $ (7, 13) $ lub $ (13, 1) $. Stąd wniosek, że w układzie liczb $ (x_1,x_2,\ldots,x_n) $ będącym rozwiązaniem wyjściowego układu równań, występują cyklicznie liczby $ 1 $, $ 7 $, $ 13 $. Taka sytuacja jest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy $ n $ jest liczbą podzielną przez $ 3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź