XLIX OM - II - Zadanie 1

Niech $ A_n = \{1, 2,\ldots, n\} $. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieją funkcje $ f: A_n \to A_n $, $ g: A_n \to A_n $, spełniające warunki:

\[<br />
f (f (k))= g(g(k)) = k\  \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n;<br />
\]
\[<br />
g(f (k)) = k + 1\  \textrm{dla}\ k = 1, 2,\ldots,n-1.<br />
\]

Rozwiązanie

Dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ istnieją funkcje o wymaganych własnościach. Oto przykład:

\[<br />
f(k)=\left\{\begin{array}{lll}<br />
n-k&\textrm{dla}&k<n,\\<br />
n&\textrm{dla}&k=n,<br />
\end{array}\right.<br />
\quad g(k)=n+1-k.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź