XLIX OM - II - Zadanie 2

W trójkącie $ ABC $ kąt $ BCA $ jest rozwarty oraz $ \measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC $. Prosta przechodząca przez punkt $ B $ i prostopadła do $ BC $ przecina prosta $ AC $ w punkcie $ D $. Punkt $ M $ jest środkiem boku $ AB $. Dowieść, ze $ \measuredangle AMC = \measuredangle BMD $.

Rozwiązanie

Niech prosta równoległa do $ AB $ i przechodząca przez punkt $ C $ przecina odcinek $ BD $ w punkcie $ E $. Oznaczmy przez $ N $ środek odcinka $ CE $. Wówczas punkty $ M $, $ N $, $ D $ są współliniowe. Trójkąt $ BCE $ jest prostokątny, więc $ N $ jest środkiem okręgu opisanego na nim. Stąd wynika, że trójkąt $ BCN $ jest równoramienny, co daje następujące równości:

\[<br />
\measuredangle BAC = 2\measuredangle ABC = \measuredangle ABC + \measuredangle BCN = \measuredangle ABC + \measuredangle CBN = \measuredangle ABN.<br />
\]

Czworokąt $ ABNC $ jest więc trapezem równoramiennym, nie będącym równoległobokiem. Zatem punkt $ N $ jest obrazem punktu $ C $ w symetrii względem symetralnej odcinka $ AB $. To oznacza, że $ \measuredangle AMC =\measuredangle BMN = \measuredangle BMD $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź