XLIX OM - II - Zadanie 3

(a) Liczby nieujemne $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $, których suma jest równa $ 1 $, spełniają zależność

\[<br />
ace +bdf \geq \frac{1}{108}.<br />
\]

Udowodnić, że

\[<br />
abc + bcd + cde + def + ef a + f ab < \frac{1}{36} .<br />
\]

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich $ a $, $ b $, $ c $, $ d $, $ e $, $ f $ o sumie równej $ 1 $, dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.

Rozwiązanie

(a) Oznaczmy $ A = ace + bdf $, $ B = abc + bcd + cde + def + efa + fab $. Korzystając z nierówności pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy

\[<br />
A+B=(a+d)(b+e)(c+f)\leq \left(\frac{(a+d)+(b+e)+(c+f)}{3} \right)^3=\frac{1}{27}.<br />
\]

Stąd $ B\leq \frac{1}{27}-A\leq \frac{1}{27} -\frac{1}{108}=\frac{1}{36}. $

(b) Takie liczby istnieją. Aby dane w zadaniu nierówności stały się równościami potrzeba i wystarcza, aby

\[<br />
A+B=\frac{1}{27},\ A=\frac{1}{108}.<br />
\]

Pierwsza z powyższych równości zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $ a + d $, $ b + e $, $ c + f $ są równe $ \frac{1}{3} $. Obliczając $ b = \frac{1}{3} - e $, $ d=\frac{1}{3} - a $, $ f = \frac{1}{3} - c $ i podstawiając te wartości do drugiej równości otrzymujemy

\[<br />
ace+\left(\frac{1}{3}-e\right)\left(\frac{1}{3}-a\right)\left(\frac{1}{3}-c\right) = \frac{1}{108}.<br />
\]

Stąd dane nierówności stają się równościami wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
ac + ce + ae +  \frac{1}{12}   = \frac{1}{3}(a + c + e), \quad \textrm{gdzie}\   0 < a, c, e < \frac{1}{3}.<br />
\]

Pozostaje znaleźć takie liczby $ a $, $ c $, żeby po wyznaczeniu z powyższej równości liczby $ e $ - a następnie liczb $ b $, $ d $, $ f $ - otrzymać sześć różnych liczb dodatnich. Rozwiązań jest dużo, oto przykład jednego z nich:

\[<br />
a=\frac{1}{4},\ b=\frac{1}{5},\ c=\frac{2}{9},\ d=\frac{1}{12},\ e=\frac{2}{15},\ f=\frac{1}{9}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź