XLIX OM - II - Zadanie 4

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ x $, $ y $ spełniające równanie

\[<br />
x^2 + 3y^2 = 1998x.<br />
\]

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że liczby całkowite $ x $, $ y $ spełniają zadane równanie i że $ y \neq 0 $; wówczas także $ x \neq 0 $. Liczba $ x $ jest jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego $ t^2 - 1998t+ 3y^2 $; niech $ z $ będzie drugim pierwiastkiem. Ze wzorów $ x + z = 1998 $, $ xz = 3y^2 $ wynika, że $ z $ też jest liczbą całkowitą oraz że $ x,z > 0 $. Oznaczmy największy wspólny dzielnik liczb $ x $, $ z $ przez $ d $; tak więc $ x = ud $, $ z = wd $,

\[<br />
(1)\qquad (u + w)d = 1998 = 2\cdot 3^3\cdot 37,\quad uwd^2 = 3y^2 .<br />
\]

Liczby $ u $, $ w $ są względnie pierwsze, więc z drugiego wzoru widać, że

\[<br />
(2) \qquad u = 3a^2 , w = b^2 \qquad \textrm{lub} \qquad w = 3a^2 , u = b^2<br />
\]

dla pewnych liczb naturalnych $ a $, $ b $, przy czym $ b $ nie dzieli się przez $ 3 $. Z pierwszego wzoru (1) wnosimy teraz, że $ d $, dzieli się przez $ 3^3 $. Przyjmijmy $ d = 3^3c $. Dostajemy równanie $ (3a^2 + b^2)c = 2\cdot 37 $. Czynnik $ (3a^2 + b^2) $, jako większy od $ 3 $, musi być równy $ 37 $ lub $ 2\cdot 37 $. Druga możliwość łatwo prowadzi do sprzeczności. Zatem $ c = 2 $ (czyli $ d = 54 $) i mamy równanie $ 3a^2 + b^2 = 37 $, z jednym rozwiązaniem w liczbach naturalnych $ a = 2 $, $ b = 5 $. Wracając do alternatywy (2) stwierdzamy, że $ u = 12 $ lub $ u = 25 $, wobec czego

\[<br />
x = 12 \cdot 54 = 648 \quad \textrm{lub} \quad x = 25 \cdot 54 = 1350.<br />
\]

Drugi wzór (1) daje w obu przypadkach wartości $ y = \pm 540 $.

Pozostał przypadek, gdy $ y = 0 $; wtedy $ x = 0 $ lub $ x = 1998 $. Następujące pary $ (x,y) $ stanowią zatem pełne rozwiązanie równania: $ (0,0) $, $ (1998,0) $, $ (648,540) $, $ (648,-540) $, $ (1350, 540) $, $ (1350, -540) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź