XLIX OM - II - Zadanie 5

Liczby nieujemne $ a_1, a_2,\ldots, a_7 $, $ b_1, b_2,\ldots, b_7 $ spełniają warunek

\[<br />
a_i + b_i \leq 2 \quad \textrm{dla}\ i = 1, 2,\ldots, 7.<br />
\]

Wykazać, że dla pewnych dwóch różnych liczb $ k, m \in \{1, 2,\ldots, 7\} $ zachodzi nierówność $ |a_k - a_m| + |b_k - b_m| \leq 1 $.

Rozwiązanie

Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty $ P_i = (a_i,b_i) $ $ (i = 1, 2,\ldots, 7) $. Z warunków zadania wynika, że punkty te leżą wewnątrz lub na obwodzie trójkąta o wierzchołkach $ (0, 0) $, $ (2, 0) $, $ (0,2) $. Podzielmy ten trójkąt na sześć obszarów: dwa kwadraty i cztery trójkąty prostokątne, jak na rysunku. Punktów jest siedem, więc pewne dwa z nich - na przykład $ P_k $ i $ P_m $ - leżą w tym samym obszarze $ \mathcal{O} $ danego podziału.

om49_2r_img_1.jpg

Jeśli obszarem $ \mathcal{O} $ jest kwadrat, to przez $ Q = (u, w) $ oznaczmy jego środek; jeśli zaś obszarem $ \mathcal{O} $ jest trójkąt prostokątny, to niech $ Q = (u, w) $ będzie środkiem jego przeciwprostokątnej. W obu przypadkach $ |x - u| + |y - w| \leq \frac{1}{2} $ dla punktów $ (x,y) $ należących do obszaru $ \mathcal{O} $. W szczególności

\[<br />
|a_k - u| + |b_k - w| \leq \frac{1}{2}\quad \textrm{oraz} \quad |a_m - u| + |b_m - w| \leq \frac{1}{2}.<br />
\]

Stąd dostajemy

\[<br />
\begin{split}<br />
&|a_k-a_m|+|b_k-b_m|=|(a_k-u)+(u-a_m)|+|(b_k-w)+(w-b_m)|\leq\\<br />
&\qquad\qquad \leq |a_k-u|+|u-a_m|+|b_k-w|+|w-b_m|=\\<br />
&\qquad\qquad = (|a_k-u|+|b_k-w|)+(|a_m-u|+|b_m-w|) \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź