XLIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest czworościan $ ABCD $. Dowieść, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok $ CDPQ $, że $ PA = PB = PD $ oraz $ QA = QB = QC $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ k $ prostą prostopadłą do płaszczyzny trójkąta $ ABC $ i przechodzącą przez środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $. Analogicznie, przez $ \ell $ oznaczmy prostą prostopadłą do płaszczyzny trójkąta $ ABD $ i przechodzącą przez środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABD $. Proste $ k $, $ \ell $ przecinają się w przestrzeni (w środku sfery opisanej na czworościanie $ ABCD $) oraz obie są prostopadłe do krawędzi $ AB $. Zatem płaszczyzna $ \pi $, zawierająca proste $ k $ i $ \ell $ jest prostopadła do krawędzi $ AB $ czworościanu $ ABCD $.

Załóżmy najpierw, że istnieje taki równoległobok $ CDPQ $, że $ PA = PB = PD $ oraz $ QA = QB = QC $. Wówczas punkt $ P $ leży na prostej $ \ell $, punkt $ Q $ leży na prostej $ k $. Prosta $ PQ $ leży w płaszczyźnie $ \pi $, co oznacza, że jest ona prostopadła do krawędzi $ AB $. A ponieważ $ CD \parallel PQ $, więc $ CD \perp AB $.

Załóżmy teraz, że krawędzie $ AB $ i $ CD $ są prostopadłe. Wtedy prosta $ CD $ jest równoległa do płaszczyzny $ \pi $. Przesuwając prostą $ k $ o wektor $ \overrightarrow{CD} $ otrzymamy prostą $ k' $ leżącą także w płaszczyźnie $ \pi $ (i nie równoległą do $ \ell $). Istnieje więc punkt wspólny prostych $ k' $ i $ \ell $, który oznaczymy przez $ P $. Niech $ Q $ będzie obrazem punktu $ P $ w translacji o wektor $ \overrightarrow{DC} $. Wówczas punkt $ Q $ leży na prostej $ k $. Punkt $ P $ leży na prostej $ \ell $. Czworokąt $ CDPQ $ jest równoległobokiem, w którym $ PA = PB = PD $ oraz $ QA = QB = QC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź