XLIX OM - III - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie układy liczb całkowitych $ (a, b, c, x, y, z) $ spełniające układ równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
a + b + c = xyz\\<br />
x + y + z = abc<br />
\end{array}\right.<br />
\]

oraz warunki $ a\geq b \geq c \geq 1 $ , $ x\geq y\geq z \geq 1 $.

Rozwiązanie

Dodając równania danego układu stronami i przekształcając otrzymujemy równość $ A + B + X + Y = 4 $, gdzie

\[<br />
\begin{array}{ll}<br />
A = (ab - 1)(c - 1), & B = (a- 1)(b- 1),\\<br />
X = (xy-1)(z-1), & Y = (x-1)(y-1).<br />
\end{array}<br />
\]

Liczby $ A $, $ B $, $ X $, $ Y $ są liczbami całkowitymi nieujemnymi. Jeśli $ c \geq 2 $, to $ A \geq 3 $, $ B \geq 1 $ i w konsekwencji $ A = 3 $, $ B = 1 $, $ X = 0 $, $ Y = 0 $, co daje rozwiązanie

\[<br />
(a,b,c,x,y,z) = (2,2,2,6,1,1).<br />
\]

Analogicznie, założenie $ z \geq 2 $ prowadzi do rozwiązania

\[<br />
(a,b,c,x,y,z) = (6,1,1,2,2,2).<br />
\]

Pozostaje możliwość $ c = z = 1 $. Wówczas $ A = X = 0 $, więc $ B + Y = 4 $. W wyniku prostego rozumowania otrzymujemy dalszych pięć układów $ (a,b,c,x,y,z) $ spełniających zadane równania:

\[<br />
(3,2,1,3,2,1),\ (3,3,1,7,1,1),\ (5,2,1,8,1,1),\ (7,1,1,3,1,1),\ (8,1,1,5,2,1).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź