XLIX OM - III - Zadanie 3

Pięciokąt wypukły $ ABCDE $ jest podstawą ostrosłupa $ ABCDES $. Płaszczyzna przecina krawędzie $ SA $, $ SB $, $ SC $, $ SD $, $ SE $ odpowiednio w punktach $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $, $ E' $ (różnych od wierzchołków ostrosłupa). Udowodnić, że punkty przecięcia przekątnych czworokątów $ ABB'A' $, $ BCC'B' $, $ CDD'C' $, $ DEE'D' $, $ EAA'E' $ leżą na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ \pi $ i $ \pi' $ płaszczyzny zawierające odpowiednio punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $ oraz $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D $', $ E' $. Ponadto niech $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, $ O $ będą punktami przecięcia przekątnych czworokątów $ ABB'A' $, $ BCC'B' $, $ CDD'C' $, $ DEE'D' $, $ EAA'E' $ (odpowiednio).

Załóżmy najpierw, że płaszczyzny $ \pi $ i $ \pi' $ są równoległe. Wówczas stosunek odległości tych płaszczyzn od każdego z punktów $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, $ O $ jest taki sam. Punkty te leżą więc na jednej płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzn $ \pi $ i $ \pi' $.

Załóżmy teraz, że płaszczyzny $ \pi $ i $ \pi' $ nie są równoległe. Oznaczmy przez $ \ell $ ich wspólną prostą. Niech $ \sigma $ będzie płaszczyzną zawierającą prostą $ \ell $ i przechodzącą przez punkt $ K $. Ponieważ punkty $ A $, $ C $, $ A' $, $ C' $ są współpłaszczyznowe, więc proste $ AC $ i $ A'C' $ są albo równoległe, albo przecinają się w punkcie $ X $ należącym do prostej $ \ell $.

W pierwszym przypadku, zarówno prosta $ KL $ (część wspólna płaszczyzn $ AB'C $, $ A'BC' $) jak i prosta $ \ell $ (część wspólna płaszczyzn $ ABC $, $ A'B'C' $) są równoległe do prostych $ AC $ i $ A'C' $. Proste $ KL $ i $ \ell $ są więc równoległe.

W drugim przypadku, punkty $ K $, $ L $, $ X $ należą do obu płaszczyzn $ AB'C $ i $ A'BC' $. Stąd wnioskujemy, że punkty te leżą na jednej prostej, czyli proste $ KL $ i $ \ell $ mają punkt wspólny. Zatem w obu przypadkach punkt $ L $ należy do płaszczyzny $ \sigma $.

Rozważając płaszczyzny $ BC'D $, $ B'CD' $ oraz korzystając z tego, że $ L \in \sigma $, poprzez rozumowanie analogiczne do powyższego dowodzimy, że punkt $ M $ leży na płaszczyźnie $ \sigma $. Wnioskując tak jak wyżej jeszcze dwukrotnie dostajemy, że punkty $ N $, $ O $ również leżą na płaszczyźnie $ \sigma $. Zatem punkty $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, $ O $ leżą na płaszczyźnie $ \sigma $, co kończy dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź