XLIX OM - III - Zadanie 5

Punkty $ D $ i $ E $ leżą na boku $ AB $ trójkąta $ ABC $ i spełniają warunek

\[<br />
\frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB}=\left(\frac{AC}{CB}\right)^2.<br />
\]

Udowodnić, że $ \measuredangle ACD =\measuredangle BCE $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ \ell $ prostą przechodzącą przez punkt $ A $ i równoległą do $ BC $. Proste $ CD $ i $ CE $ przecinają prostą $ \ell $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $.

Z warunków danych w zadaniu otrzymujemy

\[<br />
\left( \frac{AC}{CB} \right)^2 = \frac{AD}{DB}\cdot\frac{AE}{EB}=\frac{AP}{CB}\cdot\frac{AQ}{CB},<br />
\]

skąd

\[<br />
\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AQ}.<br />
\]

om49_3r_img_1.jpg

Ponieważ $ \measuredangle CAP = \measuredangle QAC $, więc z powyższej równości wynika, że trójkąty $ CAP $ i $ QAC $ są podobne. Zatem

\[<br />
\measuredangle ACD = \measuredangle ACP = \measuredangle AQC = \measuredangle  BCE .<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź