XLIX OM - III - Zadanie 6

Rozważamy na płaszczyźnie kwadraty jednostkowe, których wierzchołki mają obie współrzędne całkowite. Niech $ S $ będzie szachownicą, której polami są wszystkie kwadraty jednostkowe zawarte w kole określonym nierównością $ x^2+y^2 \leq 1998^2 $. Na wszystkich polach szachownicy piszemy liczbę $ +1 $. Wykonujemy ciąg operacji. Każda z nich polega na wybraniu dowolnego rzędu poziomego, pionowego lub ukośnego i zmianie znaków wszystkich liczb napisanych na polach wybranego rzędu. (Rząd ukośny tworzą wszystkie pola szachownicy $ S $, których środki leżą na pewnej prostej przecinającej osie układu współrzędnych pod kątem $ 45^\circ $.)

Rozstrzygnąć, czy w ten sposób można doprowadzić do sytuacji, w której na jednym polu będzie napisana liczba $ -1 $, a na pozostałych $ +1 $.

Rozwiązanie

Odpowiedź: nie można.

Przypuśćmy, że da się uzyskać konfigurację z dokładnie jednym polem $ P_1 $, na którym jest napisana liczba $ -1 $. Z uwagi na standardowe symetrie szachownicy $ S $ można założyć, że pole $ P_1 $ ma środek $ (a-\frac{1}{2},b-\frac{1}{2}) $, gdzie $ a \geq b \geq 1 $ ($ a $, $ b $ - liczby całkowite). Punkt ($ a $, $ b $) jest wierzchołkiem pola $ P_1 $, więc $ a^2 + b^2 < 1998^2 $.

Wykażemy, że kwadrat jednostkowy $ P_2 $ o środku $ (a-\frac{3}{2},b+\frac{1}{2}) $ także jest polem szachownicy $ S $.

Jeżeli $ a > b $, to $ (a-1)^2 + (b+1)^2 \leq a^2 + b^2 \leq 1998^2 $. Jeśli zaś $ a = b $, to nierówność $ a^2 + b^2 = 2a^2 \leq 1998^2 $ na pewno nie jest równością; stąd wynika, że

\[<br />
(a - 1)^2 + (b + 1)^2 = 2a^2 + 2 \leq 1998^2.<br />
\]

Zatem punkt $ (a-1,b+1) $, czyli prawy górny wierzchołek kwadratu $ P_2 $, należy do koła, o którym mowa w zadaniu. W konsekwencji cały kwadrat $ P_2 $ zawiera się w tym kole, czyli jest polem szachownicy $ S $.

om49_3r_img_2.jpg

Rozważmy teraz osiem kwadratów jednostkowych, z których dwa są polami $ P_1 $ i $ P_2 $, ułożonych tak jak na rysunku obok. Ponieważ kwadraty $ P_1 $ i $ P_2 $ są polami szachownicy $ S $, więc pozostałe sześć kwadratów również.

Zauważmy, że każdy rząd pionowy, poziomy lub ukośny zawiera albo dokładnie dwa spośród ośmiu danych pól, albo nie zawiera żadnego z nich. Iloczyn liczb napisanych na tych ośmiu polach nie ulega wobec tego zmianie w wyniku wykonywanych operacji i stale jest równy $ 1 $. Nie jest więc możliwe, by w pewnym momencie na polu $ P_1 $ znalazła się liczba $ -1 $, a na pozostałych $ +1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź