LX OM - II - Zadanie 6

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 3 $ wyznaczyć wszystkie ciągi liczb rzeczywistych
$ (x_1,x_2, \cdots ,x_n) $, dla których

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = n \quad \text{ oraz } \sum_{i=1}^n (x_{i-1} -x_i + x_{i+1})^2 = n,<br />
\]

gdzie przyjmujemy $ x_0 = x_n $ i $ x_{n+1} = x_1 $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że ciąg $ (x_1,x_2, \cdots ,x_n) $ ma żądaną własność. Przyjmijmy

\[<br />
(1) \qquad y_i = x_{i-1} -x_i + x_{i+1} -1 \quad \text{ dla } \quad i =1,2, \cdots ,n.<br />
\]

Wówczas zachodzi równość $ y_1 + y_2 +  \cdots  +y_n = x_1 + x_2 +  \cdots + x_n -n $, a zatem
z danych w treści zadania dwóch równości wynika, że

\[<br />
y_1 +y_2 + \cdots +y_n =0 \text{ oraz }(1+ y_1)^2 +(1+y_2)^2 + \cdots +(1+y_n)^2 = n,<br />
\]

skąd uzyskujemy

\[<br />
\sum_{i=1}^n y_i^2 = \sum_{i=1}^n [(1+y_i)^2 -2y_i -1]= \sum_{i=1}^n (1+y_i)^2 -2\sum_{i=1}^n  y_i - \sum_{i=1}^n 1= n-0-n =0.<br />
\]

Zatem $ y_1 = y_2 =  \cdots  = y_n = 0 $, co z uwagi na wzór (1) daje

\[<br />
(2) \qquad x_i-1 -x_i + x_i+1 = 1 \text{ dla } i =1,2, \cdots ,n.<br />
\]

Na odwrót, każdy ciąg $ (x_1,x_2, \cdots ,x_n) $ spełniający warunek (2) spełnia także równości dane w zadaniu.
Pozostaje więc wyznaczyć wszystkie ciągi, dla których zachodzi warunek (2).

Oznaczmy $ x_0 = a $ oraz $ x_1 = b $. Wówczas stosując zależność (2) w postaci
$ x_{i+1} =1 -x_i-1 + x_i $ dla $ i =1,2, 3,4,5,6 $ otrzymujemy

\[<br />
x_2 =1 -a+b,\; x_3 =2-a,\; x_4 =2-b,\; x_5 =1+a-b,\; x_6 = a,\; x_7 = b.<br />
\]

Kontynuując to postępowanie stwierdzamy, że ciąg $ x_0, x_1, x_2,  \cdots $ jest okresowy:
$ x_{k+6} =x_k $ dla $ k =0,1,2, \cdots $. Ponieważ $ x_0 = x_n $ oraz $ x_1 =x_{n+1} $, więc para
$ (x_0,x_1) $ pokrywa się z parą $ (x_r,x_{r+1}) $, gdzie $ r $ jest resztą z dzielenia liczby $ n $ przez 6.

Korzystając z wyliczonych wyżej wartości $ x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 $ sprawdzamy bezpośrednio,
że dla dowolnej wartości $ r =1,2,3,4,5 $ jedynym rozwiązaniem układu równań
$ x_0 = x_r, x_1 = x_{r+1} $, czyli odpowiednio układów

\[<br />
\begin{cases}<br />
a=b\\<br />
b=1-a+b<br />
\end{cases},<br />
\begin{cases}<br />
a=1-a+b\\<br />
b=2-a<br />
\end{cases},<br />
\begin{cases}<br />
a=2-a\\<br />
b=2-b<br />
\end{cases},<br />
\begin{cases}<br />
a=2-b\\<br />
b=1+a-b<br />
\end{cases},<br />
\begin{cases}<br />
a=1+a-b\\<br />
b=a<br />
\end{cases},<br />
\]

są liczby $ a = b = 1 $. W tej sytuacji oczywiście $ x_1 = x_2 =  \cdots  = x_n = 1 $ i liczby te mają
żądane w treści zadania własności.

Jeżeli natomiast $ r = 0 $, a więc gdy liczba $ n $ jest podzielna przez 6, to możemy wybrać dowolne
wartości rzeczywiste $ x_0 = x_n $ i $ x_1 $ i korzystając ze wzoru (2) wyznaczyć jednoznacznie wartości
$ x_2, x3,  \cdots , x_{n+1} $. Nietrudno spostrzec, że warunek (2) będzie wówczas spełniony.

Odpowiedź: Dla każdej liczby całkowitej $ n \geqslant 3 $ rozwiązaniem zadania jest ciąg
$ (x_1,x_2, \cdots ,x_n) = (1,1, \cdots ,1) $; ponadto dla liczb $ n $ podzielnych przez 6 istnieją rozwiązania
o okresie długości 6 następującej postaci:

\[<br />
(x_1,x_2, \cdots ,x_n)=(b,1 -a +b,2-a,2-b,1+ a-b,a,b,1-a+b, \cdots ,a).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź