XLVIII OM - II - Zadanie 1

Dla każdej liczby rzeczywistej $ a $ wyznaczyć liczbę uporządkowanych trójek liczb rzeczywistych $ (x, y, z) $ spełniających układ równań

\[<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
x + y^2 + z^2 = a\\<br />
x^2 + y + z^2 = a\\<br />
x^2 + y^2 + z = a<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Podstawienie: $ x=u+\frac{1}{2} $, $ y=v+\frac{1}{2} $, $ z=w+\frac{1}{2} $ sprowadza dany układ równań do postaci:

\[<br />
(*) \qquad \left\{<br />
\begin{split}<br />
v^2 + w^2 + u + v + w + 1 = a\\<br />
w^2 + u^2 + u + v + w + 1 = a\\<br />
u^2 + v^2 + u + v + w + 1 = a\\<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

skąd przez odejmowanie stronami: $ u^2 = v^2 = w^2 $. Zatem każde rozwiązanie $ (u, v, w) $ układu (*) ma dokładnie jedną z następujących postaci:

\[<br />
(1) \qquad (t,t,t);\qquad t\in \mathbb{R};<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad (-t,t,t) \quad \textrm{lub}\quad   (t,-t,t)\quad \textrm{lub}\quad (t,t,-t); \qquad t\in \mathbb{R}, t \neq 0.<br />
\]

Dla $ u = v = w = t $ układ (*) sprowadza się do równania

\[<br />
(1') \qquad 2t^2 + 3t + (1-a) = 0;<br />
\]

gdy zaś dwie z liczb $ u $, $ v $, $ w $ są równe $ t $, trzecia $ -t $ ($ t \neq 0 $), układ (*) sprowadza się do równania

\[<br />
(2')\qquad 2t^2 + t + (1 - a) = 0.<br />
\]

Liczba rozwiązań $ (u,v,w) $ układu (*) mających postać (1) jest równa liczbie pierwiastków równania (1'); oznaczmy ją przez $ N_1 $. Liczba rozwiązań $ (u,v,w) $ postaci (2) jest równa $ 3N_2 $ gdzie $ N_2 $ oznacza liczbę pierwiastków równania (2') różnych od zera. Obliczamy wyróżniki trójmianów (1') i (2'): $ \Delta_1 = 8a + 1 $, $ \Delta_2 = 8a - 7 $. Zatem:

\[<br />
N_1=\left\{\begin{array}{lll}<br />
0&\textrm{gdy}&a<-1/8,\\<br />
1&\textrm{gdy}&a=-1/8,\\<br />
2&\textrm{gdy}&a>-1/8,<br />
\end{array}<br />
\right.\<br />
N_2=\left\{\begin{array}{lll}<br />
0&\textrm{gdy}&a<7/8,\\<br />
1&\textrm{gdy}&a=7/8\ \textrm{lub}\ a=1,\\<br />
2&\textrm{gdy}&a>7/8,\ a\neq 1.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Liczba rozwiązań układu (*) jest więc równa:

\[<br />
N=N_1+3N_2=\left\{\begin{array}{lll}<br />
0&\textrm{gdy}&a<-1/8,\\<br />
1&\textrm{gdy}&a=-1/8,\\<br />
2&\textrm{gdy}&-1/8<a<7/8,\\<br />
5&\textrm{gdy}&a=7/8\ \textrm{lub}\ a=1,\\<br />
8&\textrm{gdy}&a>7/8\ \textrm{lub}\ a\neq 1.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź