XLVIII OM - II - Zadanie 2

Punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $ i spełnia warunki:

\[<br />
\measuredangle PBA = \measuredangle PCA = \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB).<br />
\]

Udowodnić, że

\[<br />
\frac{AC}{AB+PC}=\frac{AB}{AC+PB}.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ K $ punkt przecięcia prostych $ BP $ i $ AC $, zaś przez $ L $ punkt przecięcia prostych $ CP $ i $ AB $. Na mocy warunków zadania mamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
\measuredangle KPC &= \measuredangle PBC + \measuredangle PCB = \measuredangle ABC - \measuredangle ABP + \measuredangle ACB - \measuredangle ACP =\\<br />
&= \measuredangle ABC + \measuredangle ACB - 2 \cdot \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB) = \\<br />
&= \frac{1}{3}(\measuredangle ABC + \measuredangle ACB) = \measuredangle PCK,<br />
\end{split}<br />
\]

co dowodzi, że $ KP = KC $. Analogicznie $ LP = LB $. Trójkąty $ ABK $ oraz $ ACL $ są podobne, więc dostajemy

\[<br />
\frac{AB}{AC}=\frac{AK+KB}{AL+LC}=\frac{AC-KC+KP+PB}{AB-LB+LP+PC}=\frac{AC+PB}{AB+PC},<br />
\]

czyli równość, którą należało udowodnić.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź