XLVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich mających następującą własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje resztę $ 1 $ przy dzieleniu przez trzecią liczbę.

Rozwiązanie

Niech $ a $, $ b $, $ c $ będą liczbami, jakich szukamy. Z podanych warunków wynika, że są to liczby większe od $ 1 $, parami względnie pierwsze. Liczba $ bc+ca+ab- 1 $ dzieli się przez $ a $, przez $ b $ i przez $ c $, dzieli się więc także przez iloczyn $ abc $:

\[<br />
(1) \qquad bc +ca +ab = kabc+1 \ (\textrm{$k$ - liczba całkowita}).<br />
\]

Po podzieleniu stronami przez $ abc $:

\[<br />
(2) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = k+\frac{1}{abc}.<br />
\]

Suma po lewej stronie równości (1) jest większa od $ 1 $, więc $ k > 0 $. Suma po lewej stronie (2) jest mniejsza od $ 2 $, więc $ k < 2 $. Zatem $ k = 1 $. Prawa strona (2) jest większa od $ 1 $, więc największa z liczb $ 1/a $, $ 1/b $, $ 1/c $ przekracza $ 1/3 $. Przyjmując, że $ a > b > c $ wnosimy stąd, że $ c = 2 $. Równość (1) przybiera postać $ 2a + 2b + ab = 2ab + 1 $, czyli $ (a - 2)(b - 2) = 3 $. Stąd $ a = 5 $, $ b = 3 $, $ c = 2 $. Te liczby spełniają warunki zadania i są (z dokładnością do permutacji) jego jedynym rozwiązaniem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź