XLVIII OM - II - Zadanie 5

Rzucamy $ k $ kostkami sześciennymi białymi i $ m $ czarnymi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że reszta z dzielenia przez $ 7 $ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach białych jest równa reszcie z dzielenia przez $ 7 $ łącznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach czarnych.

Rozwiązanie

Zbiorem zdarzeń elementarnych w tym zadaniu jest

\[<br />
\Omega=\{(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m) : b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m \in \{1,2,\ldots,6\}\},<br />
\]

gdzie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Niech $ A $ oznacza zdarzenie, którego prawdopodobieństwa szukamy:

\[<br />
A = \{(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m) \in \Omega : 7|(b_1+\ldots+b_k-c_1-\ldots-c_m)\}.<br />
\]

Niech zaś $ B $ będzie zdarzeniem, że łączna liczba wyrzuconych oczek na wszystkich $ k + m $ kostkach jest podzielna przez $ 7 $:

\[<br />
B = \{(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m) \in \Omega : 7|(b_1+\ldots+b_k+c_1+\ldots+c_m)\}.<br />
\]

Przekształcenie dane wzorem

\[<br />
(b_1,\ldots,b_k,c_1,\ldots,c_m)\mapsto (b_1,\ldots,b_k,7-c_1,\ldots,7-c_m)<br />
\]

jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $ A $ na zbiór $ B $. Zbiory $ A $ i $ B $ są więc równoliczne, a zatem prawdopodobieństwa zdarzeń $ A $ i $ B $ są jednakowe.

Oznaczmy przez $ p_{n,r} $ ($ n \geq 1 $, $ r = 0,1,\ldots, 6 $) prawdopodobieństwo tego, że przy rzucie $ n $ kostkami reszta przy dzieleniu przez $ 7 $ łącznej liczby wyrzuconych oczek jest równa $ r $. Wówczas $ p_{1,0} = 0 $, $ p_{1,1} = p_{1,2} = \ldots = p_{1,6} = 1/6 $.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite dostajemy dla $ n = 1,2,3,\ldots $ równość:

\[<br />
(*)\qquad p_{n+1,0}=p_{1,0}\cdot p_{n,0}+\sum_{r=1}^6p_{1,7-r}\cdot p_{n,r}=\frac{1}{6} \sum_{r=1}^6 p_{n,r}=\frac{1}{6}(1-p_{n,0}).<br />
\]

Wprowadzając oznaczenie $ q_n = p_{n,0} - \frac{1}{7} $, ze wzoru (*) otrzymujemy równość

\[<br />
q_{n+1} = q_n \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\qquad  \textrm{dla}\  n \geq 1.<br />
\]

Stąd przez łatwą indukcję

\[<br />
q_n = q_1 \left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}=\frac{(-1)^n}{7\cdot 6^{n-1}}\qquad  \textrm{dla}\  n \geq 1.<br />
\]

Ostatecznie więc

\[<br />
P(A) = P(B) = p_{k+m,0} = \frac{1}{7} + q_{k+m} = \frac{1}{7} + \frac{(-1)^{k+m}}{7\cdot 6^{k+m-1}}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź