XLVIII OM - II - Zadanie 6

W sześcianie o krawędzi długości $ 1 $ leży osiem punktów. Wykazać, że pewne dwa z nich są końcami odcinka o długości nie większej niż $ 1 $.

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki danego sześcianu $ \mathcal{C} $ przez $ A_1,\ldots, A_8 $. Oznaczmy przez $ \mathcal{C}_i $ sześcian o krawędzi długości $ \frac{1}{2} $, mający jeden wierzchołek w punkcie $ A_i $ oraz trzy ściany zawarte w ścianach sześcianu $ \mathcal{C} $. Niech $ P_1,\ldots,P_8 $ będą ośmioma danymi punktami.

Każdy sześcian $ \mathcal{C}_i $ ma średnicę $ \frac{1}{2}\sqrt{3} < 1 $. Jeśli więc pewne dwa różne punkty $ P_k $, $ P_l $ leżą w którymś z sześcianów $ \mathcal{C}_i $, to $ P_kP_l < 1 $; wymagany warunek jest spełniony.

Załóżmy zatem, że każdy z tych sześcianów zawiera dokładnie jeden punkt $ P_i $. Ustalmy numerację tak, by $ P_i \in \mathcal{C}_i $ dla $ i = 1,\ldots, 8 $. Sześcian $ \mathcal{C}_i $ ma dokładnie trzy ściany wspólne z powierzchnią sześcianu $ \mathcal{C} $; punkt $ P_i $, jest odległy od każdej z tych trzech ścian o nie więcej niż $ 1/2 $. Oznaczmy te trzy odległości przez $ a_i $, $ b_i $, $ c_i $. Niech $ d $ będzie największą spośród $ 24 $ liczb: $ a_1,b_1,c_1,\ldots,a_8,b_8,c_8 $. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że $ d = P_1Q $, gdzie $ Q $ jest rzutem prostokątnym punktu $ P_1 $ na pewną ścianę sześcianu $ \mathcal{C} $, oraz że $ A_1A_2 $ jest krawędzią sześcianu $ \mathcal{C} $ równoległą do prostej $ P_1Q $.

Niech $ R $ będzie rzutem prostokątnym punktu $ P $ na prostą $ A_1A_2 $. Weźmy pod uwagę prostopadłościan, którego jedną krawędzią jest odcinek $ A_2R $, a jedną ze ścian prostopadłych do $ A_2R $ jest kwadrat o wierzchołku $ A_2 $ i boku długości $ d $, zawarty w ścianie sześcianu $ \mathcal{C} $. Z określenia liczby $ d $ wynika, że ów prostopadłościan zawiera punkty $ P_1 $ i $ P_2 $. Jego średnica jest równa

\[<br />
\sqrt{d^2 + d^2 + (1 - d)^2} = \sqrt{d(3d - 2) + 1} \leq 1,<br />
\]

gdyż $ 0 \leq d \leq \frac{1}{2} < \frac{2}{3} $. Zatem $ P_1P_2 \leq 1 $, co kończy dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź