XLVIII OM - III - Zadanie 1

Liczby całkowite dodatnie $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $, $ x_4 $, $ x_5 $, $ x_6 $, $ x_7 $ spełniają warunki:

\[<br />
x_6 = 144\ \textrm{oraz}\   x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_n) \ \textrm{dla} \ n = 1, 2, 3,4.<br />
\]

Wyznaczyć $ x_7 $.

Rozwiązanie

Oznaczmy: $ a = x_1+x_2 $, $ b = x_3 $, $ c = x_2+x_3 $. Wówczas $ x_2 = c - b $, $ x_1 = a-x_2=a+b-c $. Są to z założenia liczby dodatnie. Tak więc

\[<br />
(1)\qquad 0<b<c<a + b.<br />
\]

Dalej, $ x_4 = ab, x_5 = abc, x_6 = abc(ab + b) = a(a + 1)b^2c $. Z nierówności (1) wynika, że $ a > 1 $. Jedynymi dzielnikami liczby $ 144 $ mającymi postać $ a(a + 1) $ (gdzie $ a > 1 $) są liczby $ 6 $, $ 12 $, $ 72 $, odpowiadające wartościom $ a = 2 $, $ a = 3 $, $ a = 8 $. Iloczyn $ b^2c $ powinien mieć - odpowiednio - wartość: $ 24 $, $ 12 $, $ 2 $. Pierwsza możliwość prowadzi do sprzeczności z warunkiem (1). Druga i trzecia możliwość daje (w połączeniu z warunkiem (1)) rozwiązania $ (a,b,c) = (3,2,3) $ oraz $ (a,b,c) = (8,1,2) $. W każdym przypadku $ x_7 = x_6(x_5 + x_4) = 144ab(c+1) = 144\cdot 24 = 3456 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź