XLVIII OM - III - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych $ x $, $ y $, $ z $ spełniające układ równań

\[<br />
\left\{<br />
\begin{array}{c}<br />
3(x^2+y^2+z^2)=1\\<br />
x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = xyz(x + y + z)^3.<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają dany układ; z drugiego równania wynika, że

\[<br />
(1)\qquad xyz(x + y + z) \geq 0.<br />
\]

Dalej mamy

\[<br />
(2)\qquad 0 \leq (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)^2,<br />
\]

co na mocy pierwszego równania układu daje:

\[<br />
(3)\qquad (x + y + z)^2 \leq 1.<br />
\]

Zachodzi też nierówność

\[<br />
\begin{split}<br />
0 &\leq (xy - yz)^2 + (yz - zx)^2 + (zx - xy)^2 =\\<br />
&= 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) - 2xyz(x + y + z),<br />
\end{split}<br />
\]

czyli

\[<br />
(4)\qquad xyz(x + y + z) \leq  x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2.<br />
\]

Dzięki własności (1) możemy pomnożyć nierówności (3) i (4) stronami:

\[<br />
(5)\qquad xyz(x + y + z)^3 \leq x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2.<br />
\]

Zgodnie z drugim równaniem układu, nierówność (5) ma być równością. To znaczy, że albo obie mnożone nierówności (3) i (4) są równościami, albo wyrażenia po obu stronach (4) są równe zeru. W pierwszym przypadku znak równości w związkach (2) i (3) prowadzi do wniosku, że $ x = y = z = \pm 1/3 $. W drugim przypadku iloczyny $ zy $, $ yz $, $ zx $ są równe zeru, czyli pewne dwie spośród liczb $ z $, $ y $, $ z $ są równe zeru; trzecia musi być równa $ \pm 1/\sqrt{3} $, zgodnie z pierwszym równaniem układu. Daje to osiem trójek $ (x, y, z) $ spełniających dany układ równań:

\[<br />
(\varepsilon \cdot \frac{1}{3},\varepsilon \cdot \frac{1}{3},\varepsilon \cdot \frac{1}{3}), \quad (\varepsilon \cdot \frac{1}{\sqrt{3}},0,0), \quad (0,\varepsilon \cdot \frac{1}{\sqrt{3}},0), \quad (0,0,\varepsilon \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}),<br />
\]

gdzie $ \varepsilon = \pm 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź