XLVIII OM - III - Zadanie 3

Środkowe ścian bocznych $ ABD $, $ ACD $, $ BCD $ ostrosłupa $ ABCD $ poprowadzone z wierzchołka $ D $ tworzą równe kąty z krawędziami, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że pole każdej ściany bocznej jest mniejsze od sumy pól pozostałych dwóch ścian bocznych.

Rozwiązanie

Udowodnimy nierówność

\[<br />
(1)\qquad \mathrm{pole} (ABD) < \mathrm{pole} (BCD) + \mathrm{pole} (CAD)<br />
\]

(pozostałe dwie nierówności dostaniemy analogicznie). Oznaczmy przez $ K $, $ L $, $ M $ odpowiednio środki krawędzi $ BC $, $ CA $, $ AB $. Odcinki $ DK $, $ DL $, $ DM $ tworzą równe kąty odpowiednio z krawędziami $ BC $, $ CA $, $ AB $; oznaczmy ten wspólny kąt przez $ \alpha $. Niech $ DH $ będzie wysokością trójkąta $ ABD $. Mamy:

\[<br />
(2)\qquad \mathrm{pole} (ABD) = \frac{1}{2} AB \cdot DH = \frac{1}{2} AB \cdot DM \cdot \sin \alpha = KL \cdot DM \cdot \sin \alpha.<br />
\]

Analogicznie:

\[<br />
(3) \qquad \mathrm{pole} (BCD) = LM \cdot DK \cdot \sin \alpha \quad \textrm{oraz}\quad \mathrm{pole} (CAD) = MK \cdot DL \cdot \sin \alpha.<br />
\]

Ponieważ $ \sin\alpha \neq 0 $, więc wykorzystując równości (2) i (3) możemy zapisać nierówność (1) w następującej równoważnej postaci:

\[<br />
(4) \qquad KL \cdot DM < LM \cdot DK + MK \cdot DL.<br />
\]

Rozważmy czworościan $ KLMD $. Niech $ N $ będzie takim punktem płaszczyzny $ KLM $, że $ KN = KD $, $ LN = LD $ oraz punkty $ M $ i $ N $ leżą po przeciwnych stronach prostej $ KL $. Oznaczmy przez $ P $ punkt przecięcia prostej $ KL $ z odcinkiem $ MN $. Ponieważ trójkąty $ KLD $ i $ KLN $ są przystające, więc $ DP = NP $. Dla czworokąta $ MKNL $ zachodzi nierówność Ptolemeusza:

\[<br />
KL \cdot NM \leq LM \cdot NK + MK \cdot NL.<br />
\]

Stąd otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
KL \cdot DM &< KL \cdot (DP + PM) = KL \cdot (NP + PM) = KL \cdot NM \leq\\<br />
&\leq LM \cdot NK + MK \cdot NL = LM \cdot DK + MK \cdot DL,<br />
\end{split}<br />
\]

czyli nierówność (4), która jest równoważna nierówności (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź