XLIX OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
\left\{\begin{split}<br />
&|x-y|-\frac{|x|}{x}=-1\\<br />
&|2x-y|+|x+y-1|+|x-y|+y-1=0.<br />
\end{split}\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $ x $, $ y $ spełniają podany układ równań. Z pierwszego równania wynika, że $ x \neq 0 $ oraz że iloraz $ |x|: x $ nie może być równy $ -1 $; jest więc równy $ 1 $, co oznacza, że $ x $ jest liczbą dodatnią. Pierwsze równanie mówi zatem, że $ |x - y| =0 $. Liczby $ x $ i $ y $ są więc równe.

Podstawiając $ y = x $ do drugiego równania (i pamiętając, że $ x > 0 $) otrzymujemy zależność $ 2x- 1 + |2x-1| = 0 $, równoważną temu, że $ 2x-1\leq 0 $. Tak więc każda para $ (x,y) $, będąca rozwiązaniem danego układu równań, spełnia warunki: $ 0 < x = y \leq \frac{1}{2} $.

I na odwrót: każda para $ (x,y) $ takiej postaci spełnia oba równania układu; sprawdzenie jest natychmiastowe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź