XLIX OM - I - Zadanie 3

Ciągi $ (a_n) $, $ (b_n) $, $ (c_n) $ są określone przez warunki:

\[<br />
a_1=4, \quad a_{n+1} = a_n(a_n-1), \quad 2^{b_n}=a_n, \quad 2^{n-c_n}=b_n<br />
\]

dla $ n = 1,2,3,\ldots $. Wykazać, że ciąg $ (c_n) $ jest ograniczony.

Rozwiązanie

Udowodnimy przez indukcję, że

\[<br />
\qquad (1) 2^{2^{n-1}}<a_n\leq 2^{2^n}.<br />
\]

Dla $ n = 1 $ nierówności $ 2^1 <a_1 \leq 2^2 $ są spełnione. Zakładając, że nierówności (1) zachodzą dla pewnej liczby naturalnej $ n $, otrzymujemy dla $ n+1 $ analogiczne oszacowania:

\[<br />
a_{n+1} = a_n(a_n - 1) < a_n^2 \leq (2^{2^n})^2 = 2^{2^{n+1}}<br />
\]

oraz - korzystając z faktu, że $ a_n $ jest liczbą całkowitą, więc lewa nierówność (1) daje się wzmocnić do postaci $ a_n \geq 2^{2^{n-1}} + 1 $:

\[<br />
a_{n+1} = a_n(a_n-1) \geq (2^{2^{n-1}}+1) \cdot 2^{2^{n-1}}     = 2^{2^n} +2^{2^{n-1}}> 2^{2^n}.<br />
\]

Na podstawie zasady indukcji wnosimy o prawdziwości związków (1) dla wszystkich liczb naturalnych $ n \geq 1 $.

Zastępując w (1) $ a_n $ przez $ 2^{b_n} $ dostajemy nierówność $ 2^{n-1} <  b_n \leq 2^n $; zastępując z kolei $ b_n $ przez $ 2^{n-c_n} $ stwierdzamy, że $ n-1<n-c_n\leq n $; a to znaczy, że $ 0 \leq c_n < 1 $. Ciąg $ (c_n) $ jest więc ograniczony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź