XLIX OM - I - Zadanie 5

Dana jest, liczba całkowita $ n \geq 1 $. Rozwiązać równanie

\[<br />
|\tan^n{x}-\cot^n{x}| = 2n|\cot 2x|.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ 2\cot 2x=2 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}=\cot x - \tan x $, dane równanie jest równoważne następującemu:

\[<br />
(1) \quad |\tan^n x - \cot^n x|=n|\tan x - \cot x|.<br />
\]

Gdy $ n = 1 $, równanie (1) jest spełnione tożsamościowo w zbiorze liczb, które nie są całkowitymi wielokrotnościami liczby $ \pi/2 $.

Dalej rozważamy przypadek, gdy $ n \geq 2 $. Równanie (1) jest oczywiście spełnione, gdy $ \tan x = \cot x $, czyli dla liczb postaci

\[<br />
(2) \quad x=\frac{m\pi}{4}; m \textrm{ - liczba całkowita nieparzysta.}<br />
\]

Wykażemy, że dla $ n \geq 2 $ równanie (1) nie ma innych rozwiązań.

Niech więc $ x $ będzie dowolną liczbą spełniającą równanie (1); przyjmijmy $ a=\tan x $ i przepiszmy równanie (1) w postaci

\[<br />
(3) \quad \left| a^n-\frac{1}{a^n}\right|=n\left|a-\frac{1}{a} \right|.<br />
\]

Jeżeli liczba rzeczywista $ a=a_0 $ spełnia to ostatnie równanie, to liczby $ 1/a_0 $, $ -1/a_0 $ oraz $ -a_0 $ także je spełniają. Zatem jeśli wykażemy, że równanie (3) nie jest spełnione przez żadną liczbę rzeczywistą $ a \in (1; \infty) $, będzie to znaczyło, że nie ma ono rozwiązań w żadnym z przedziałów $ (0;\ 1) $, $ (-1;\ 0) $, $ (-\infty;\ -1) $, czyli że jedynymi jego rozwiązaniami są liczby $ 1 $ i $ -1 $. A ponieważ wartości $ \tan x = \pm 1 $ odpowiadają wartościom $ x $ danym wzorem (2), tym samym udowodnimy, że wzór (2) przedstawia pełne rozwiązanie równania (1).

Pozostaje zająć się równaniem (3) dla $ a \geq 1 $. Przy takim warunku różnice ujęte w znaki wartości bezwzględnej (po lewej i po prawej stronie (3)) są nieujemne i równanie sprowadza się do postaci

\[<br />
(4) \quad a^n- \frac{1}{a^n}=n \left( a - \frac{1}{a} \right).<br />
\]

Rozumowania są cały czas prowadzone pod założeniem, że $ n $ jest ustaloną liczbą naturalną większą od $ 1 $. Wykażemy kilkoma sposobami, że przy takim założeniu równanie (4) nie ma rozwiązań $ a > 1 $.

Sposób I

Przypuśćmy, że pewna liczba $ a>1 $ spełnia równanie (4) i oznaczmy liczbę $ 1/a $ przez $ b $; oczywiście $ a>b $. Przepisujemy równanie (4) jako $ a^n - b^n =n(a - b) $, dzielimy stronami przez $ (a-b) $ i dostajemy związek

\[<br />
a^{n-1}+a^{n-2}b+ \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}=n.<br />
\]

Podstawiając z powrotem $ b = a^{-1} $ otrzymujemy zależność

\[<br />
(5) \quad a^{n-1} + a^{n-3} + \ldots + a^{-n+3} + a^{-n+1} = n.<br />
\]

Dla każdej liczby dodatniej $ t \neq 1 $ prawdziwa jest nierówność $ t + t^{-1} > 2 $ (równoważna, po prostym przekształceniu, nierówności $ (t-1)^2>0 $). Zatem dla każdej liczby całkowitej $ k $ mamy

\[<br />
a^k+a^{-k} \left\{<br />
\begin{array}{ccc}<br />
>2 & \ \textrm{gdy} \ & k \neq 0,\\<br />
=2 & \ \textrm{gdy} \ & k = 0.<br />
\end{array} \right.<br />
\]

Podstawiamy za $ k $ kolejno liczby $ n-1, n-3, \ldots, -n+3, -n+1 $ i dodajemy stronami otrzymane $ n $ nierówności. Zauważmy, że co najmniej jedna z nich jest nierównością ostrą (bo $ n \geq 2 $). W wyniku sumowania otrzymujemy po lewej stronie liczbę $ 2(a^{n-1} + a^{n-3} + \ldots + a^{-n+3} + a^{-n+1}) $; po prawej stronie dostajemy wartość $ 2n $. To pokazuje, że równość (5) nie jest w rozważanym przypadku możliwa.

Jak stwierdziliśmy wcześniej, wynika stąd wniosek, że dla $ n \geq 2 $ pełne rozwiązanie równania (1) dane jest wzorem (2).

Sposób II

Sprowadziwszy zagadnienie do równania (5) można szybko uzyskać sprzeczność z założeniem $ a > 1 $ zauważając, że średnia geometryczna liczb $ a^{n-1}, a^{n-3}, \ldots, a^{-n+3}, a^{-n+1} $ jest równa $ 1 $. Równość (5) mówi zaś, ze średnia arytmetyczna tych liczb także jest równa $ 1 $.

Oczywiście jeśli $ a>1 $, $ n \geq 2 $, to ,,uśredniane'' liczby nie są równe, a więc ich średnia arytmetyczna musi być większa od średniej geometrycznej i mamy sprzeczność, o którą chodziło.

Sposób III

Rozważamy funkcję $ f: \langle 1;\ \infty) \to \mathbb{R} $ określoną wzorem

\[<br />
f(u) = u^{2n}-nu^{n+1}+nu^{n-1}-1.<br />
\]

Obliczamy jej pochodną: $ f'(u) = 2nu^{2n-1} -n(n + 1)u^n+ n(n -1)u^{n-2} $, czyli $ f'(u)=nu^{n-2}g(u) $, gdzie

\[<br />
g(u)=2u^{n+1}-(n + 1)u^2 + (n-1).<br />
\]

Pochodna funkcji $ g $ jest dodatnia dla $ u>1 $:

\[<br />
g'(u) = 2(n+1)u^n-2(n + 1)u = 2(n + 1)u(u^{n-1} - 1) > 0<br />
\]

(nadal rozważamy przypadek, gdy $ n \geq 2 $). Zatem funkcja $ g $ jest w przedziale $ \langle 1;\ \infty) $ rosnąca; a ponieważ $ g(1) =0 $, dostajemy nierówność $ g(u) > 0 $ dla $ u > 1 $. Stąd $ f'(u)>0 $ dla $ u>1 $. To znaczy, że i $ f $ jest funkcją rosnącą w przedziale $ \langle 1;\ \infty) $. Wobec równości $ f(1)=0 $, wartości $ f(u) $ są dodatnie dla $ u>1 $. Dzielimy nierówność $ f(u) >0 $ stronami przez $ u^n $ i otrzymujemy:

\[<br />
u^n-nu + \frac{n}{u}- \frac{1}{u^n}>0 \textrm{ dla } u > 1.<br />
\]

Widać stąd, że równanie (4) nie jest spełnione przez żadną liczbę $ a>1 $.

Konkluzja jak poprzednio: dla $ n \geq 2 $ jedynymi rozwiązaniami równania (1) są liczby dane wzorem (2).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź