XLIX OM - I - Zadanie 7

Rozstrzygnąć, czy istnieje wielościan wypukły mający $ k $ krawędzi oraz płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z jego wierzchołków i przecinająca $ r $ krawędzi, przy czym $ 3r > 2k $.

Rozwiązanie

Niech $ W $ będzie dowolnym wielościanem wypukłym; niech $ k $ będzie liczbą jego krawędzi, a $ s $ -- liczbą ścian. Brzeg każdej ściany zawiera co najmniej trzy krawędzie, a każda krawędź jest wspólnym bokiem dokładnie dwóch ścian. Zatem $ 2k\geq 3s $.

Jeśli płaszczyzna nie przechodząca przez żaden wierzchołek przecina $ r $ krawędzi, to przekrój wielościanu tą płaszczyzną jest wielokątem wypukłym mającym $ r $ wierzchołków, a więc także $ r $ boków. Każdy jego bok jest zawarty w pewnej ścianie wielościanu $ W $, i to każdy w innej. Wobec tego $ s \geq r $.

Zestawiając uzyskane nierówności widzimy, że $ 2k \geq 3r $. Nie istnieje więc wielościan, dla którego spełniona byłaby nierówność $ 3r > 2k $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź