XLIX OM - I - Zadanie 9

Niech $ a_0 = 0,91 $ oraz

\[<br />
a_k =0, \underbrace{99\ldots 9}_{2^k}\underbrace{00\ldots 0}_{2^k-1}1   \textrm{ dla } k = 1,2,3,\ldots.<br />
\]

Obliczyć $ \lim_{n\to\infty}(a_0a_1\ldots a_n) $.

Rozwiązanie

Sposób I

W myśl podanego określenia,

\[<br />
a_k = 1-\left( \frac{1}{10}\right) ^{2^k} +\left( \frac{1}{10} \right)^{2^{k+1}}  \textrm{ dla } k = 0,1,2, \ldots.<br />
\]

Dla lepszej czytelności dalszych napisów oznaczmy liczbę $ \frac{1}{10} $ przez $ \beta $ oraz przyjmijmy $ \alpha = 1 + \beta+ \beta^2 = 1,11 $. Zachodzą równości

\[<br />
\begin{split}<br />
&\alpha \cdot a_0  =  (1+ \beta^1+\beta^2)(1-\beta^1+\beta^2)=1+\beta^2+\beta^4,\\<br />
&\alpha \cdot a_0a_1  =  (1+ \beta^2+\beta^4)(1-\beta^2+\beta^4)=1+\beta^4+\beta^8,\\<br />
&\alpha \cdot a_0a_1a_2  =  (1+ \beta^4+\beta^8)(1-\beta^4+\beta^8)=1+\beta^8+\beta^{16},<br />
\end{split}<br />
\]

i dalej, przez oczywistą indukcję,

\[<br />
\alpha \cdot a_0a_1a_2\ldots a_n  = 1+\beta^{2^{n+1}}+\beta^{2^{n+2}} \textrm{ dla } n=0,1,2,\ldots.<br />
\]

Dzieląc stronami przez $ \alpha = \frac{111}{100} $ dostajemy równość

\[<br />
\qquad (1) a_0a_1\ldots a_n= \frac{100}{111} \left(1+\beta^{2^{n+1}}+\beta^{2^{n+2}}\right)   \textrm{ dla } n=0,1,2,\ldots .<br />
\]

Gdy $ n $ dąży do nieskończoności, wartość wyrażenia w nawiasie dąży do $ 1 $. Zatem $ \lim_{n\to \infty}(a_0a_1 \ldots a_n) = \frac{100}{111} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź