XLIX OM - I - Zadanie 10

Środkowe $ AD $, $ BE $, $ CF $ trójkąta $ ABC $ przecinają się w punkcie $ G $. Na czworokątach $ AFGE $ i $ BDGF $ można opisać okręgi. Wykazać, że trójkąt $ ABC $ jest równoboczny.

Rozwiązanie

Oznaczmy miary kątów $ CAB $, $ ABC $, $ BCA $ odpowiednio przez $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $. Punkty $ F $ i $ D $ są środkami boków $ AB $ i $ BC $, więc $ DF \parallel CA $, i wobec tego $ |\measuredangle BDF|= \gamma $ (rysunek 5).

Przeciwległe kąty czworokąta $ AFGE $, wpisanego w okrąg, dopełniają się do $ 180^\circ $. Natomiast z istnienia okręgu opisanego na czworokącie $ BDGF $ wynika równość kątów $ BDF $ i $ BGF $ (wpisanych w ów okrąg). Zatem

\[<br />
\gamma = |\measuredangle BDF| = |\measuredangle BGF| = 180^\circ -| \measuredangle FGE| = | \measuredangle EAF| = \alpha.<br />
\]

Analogicznie dowodzimy, że $ \gamma = \beta $. Trójkąt $ ABC $ jest więc równoboczny.

Uwaga: Istnieje wiele wariantów tego rozwiązania, wykorzystujących równości różnych kątów (wynikające z założeń zadania); wybraliśmy najkrótsze.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź