XLIX OM - I - Zadanie 12

Niech $ g(k) $ będzie największym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej $ k $, gdy $ |k|\geq 2 $, oraz przyjmijmy $ g(-1) = g(0) =g(1) = 1 $. Rozstrzygnąć, czy istnieje wielomian $ W $ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci $ g(W(x)) $ ($ x $ - całkowite) jest skończony.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że nie istnieje wielomian o podanej własności. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że

\[<br />
\qquad (1) W(x) =a_0 + a_1x + \ldots +a_nx^n<br />
\]

jest wielomianem stopnia $ n \geq 1 $ o współczynnikach całkowitych i że zbiór liczb postaci $ g(W(x)) $ (dla całkowitych wartości argumentu $ x $) jest skończony. To znaczy: istnieje liczba naturalna $ m $ oraz istnieją liczby pierwsze $ p_1, \ldots ,p_m $ o następującej własności:

jeśli $ x $ jest liczbą całkowitą oraz $ W(x)\neq Q $, to wartość $ W(x) $ nie dzieli się przez żadną liczbę pierwszą różną od $ p_i,\ldots p_m $ .

Rozpatrzymy dwa przypadki.

Jeżeli $ a_0 = 0 $, to dla każdej liczby całkowitej $ x \neq 0 $ wartość $ W(x) $ dzieli się przez $ x $. Niech $ b=1+p_1p_2\ldots p_m $. Znajdujemy liczbę naturalną $ k $, dla której $ W(kb)\neq 0 $; liczba taka istnieje, bo wielomian $ W $ ma skończenie wiele pierwiastków.

Wartość $ W(kb) $ dzieli się przez $ kb $, więc i przez $ b $; wobec tego ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy różny od $ p_1, \ldots, p_m $. Jest to sprzeczność z warunkiem (2).

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy $ a_0 \neq 0 $. Weźmy pod uwagę liczbę $ c=a_0p_1p_2\ldots p_m $. Znajdujemy liczbę naturalną $ k \geq 2 $, dla której $ W(kc) \neq a_0 $; liczba taka istnieje, bo wartość $ a_0 $ jest przez wielomian $ W $ przyjmowana tylko w skończenie wielu punktach.

Ze wzoru (1) otrzymujemy równość

\[<br />
\qquad (3) W(kc) =a_0 + kc[a_1 + a_2(kc) + \ldots + a_n(kc)^{n-1}] = a_0 + kcq,<br />
\]

gdzie $ q $ oznacza liczbę w nawiasie kwadratowym. Jest to liczba całkowita różna od zera (bo $ W(kc) \neq a_0 $). Wstawiając do (3) wyrażenie definiujące liczbę $ c $ dostajemy równość

\[<br />
W(kc) = a_0w,   \textrm{ gdzie } w = 1 + k q p_1 p_2 \ldots p_m.<br />
\]

Skoro $ k\geq 2 $ oraz $ q \neq 0 $, liczba $ w $ nie jest równa $ 1 $, $ -1 $, ani $ 0 $; ma więc dzielnik pierwszy różny od $ p_1,\ldots ,p_m $. Zatem i w tym przypadku otrzymaliśmy sprzeczność z warunkiem (2); dowód jest zakończony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź