XLVIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
&x \cdot |x|+y \cdot |y| =1,\\<br />
&[x] + [y] =1.<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

Uwaga: $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $ x $, $ y $ spełniają dany układ równań.

Weźmy najpierw pod uwagę przypadek, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest ujemna; przypuśćmy na przykład, że $ y < 0 $. Wówczas $ [y] \leq -1 $, i w takim razie na mocy drugiego równania układu zachodzi nierówność

\[<br />
[x]=1-[y] \geq 2.<br />
\]

Wobec tego $ x \geq 2 $.

Skoro $ x $ jest liczbą dodatnią, a $ y $ jest liczbą ujemną, pierwsze równanie układu przybiera w tym przypadku postać

\[<br />
\qquad (1) x^2-y^2=1.<br />
\]

Z nierówności $ x \geq 2 $, $ y < 0 $ wynika ponadto, że $ x - y > 2 $.

Oczywiście $ x + y \geq [x] + [y] = 1 $. Zatem

\[<br />
x^2-y^2=(x + y)(x-y)>2.<br />
\]

Otrzymaliśmy sprzeczność z równaniem (1). Jest ona wynikiem przypuszczenia, że któraś z liczb $ x $, $ y $ jest ujemna. Ten przypadek zajść więc nie może.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy liczby $ x $ i $ y $ są obie nieujemne. Pierwsze równanie układu teraz ma postać

\[<br />
x^2 + y^2 = 1;<br />
\]

zatem $ x,y \in \langle 0,\ 1 \rangle $ i z drugiego równania wynika, że jedna z liczb $ [x] $, $ [y] $ musi być równa $ 1 $, a druga $ 0 $. Stąd łatwy wniosek, że

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
&x=1,\\<br />
&y=0,<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\quad \textrm{lub}\quad<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
&x=0,\\<br />
&y=1.<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

Te dwie pary spełniają układ i są jego jedynymi rozwiązaniami.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź