XLVIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b \geq 1 $, $ c\geq 0 $ oraz dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 1 $ zachodzi nierówność

\[<br />
(ab + c)^n-c \leq ((b + c)^n-c)a^n.<br />
\]

Rozwiązanie

Sposób I

Daną do udowodnienia nierówność przepisujemy w postaci

\[<br />
\qquad (1) (ab + ac)^n-(ab + c)^n \geq c(a^n-1).<br />
\]

Oznaczmy: $ \alpha = ab + ac $, $ \beta = ab + c $. Skoro $ a \geq 1 $, $ b \geq 1 $, $ c\geq 0 $, zatem $ \alpha \geq a $, $ \beta \geq 1 $; ponadto $ \alpha-\beta= (a-1)c $, i wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
\alpha^n -\beta^n&= (\alpha -\beta)\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k\beta^{n-1-k} \geq (\alpha -\beta)\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k \geq\\<br />
&\geq (\alpha -\beta)\sum_{k=0}^{n-1}a^k=c(a-1)\sum_{k=0}^{n-1}a^k=c(a^n-1);<br />
\end{split}<br />
\]

otrzymaliśmy nierówność (1).

Sposób II

Dowód będzie oparty na znanej nierówności Bernoulli'ego:

\[<br />
\qquad (2) (1 + x)^n \geq 1 + nx \ \textrm{dla}\ x \geq -1;\ n = 1,2,3,\dots .<br />
\]

Oznaczając sumę $ 1 + x $ przez $ y $ możemy tę nierówność przepisać tak:

\[<br />
\qquad (3) y^n  - 1\geq n(y-1) \ \textrm{dla}\ y \geq 0;\ n = 1,2,3,\dots .<br />
\]

Przechodzimy do nierówności (1). Szacujemy z dołu jej lewą stronę, wykorzystując nierówność (3) (dla $ y = \frac{ab+ac}{ab+c} $):

\[<br />
\begin{split}<br />
(ab+ac)^n-(ab+c)^n&=(ab+c)^n \left[\left(\frac{ab+ac}{ab+c}\right)^n-1\right] \geq \\<br />
&\geq  (ab+c)^n\cdot n\left(\frac{ab+ac}{ab+c} -1 \right)=\\<br />
&=n(ab+c)^{n-1}(a-1)c.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd (wobec faktu, że $ ab+c\geq ab $):

\[<br />
\qquad (4) (ab+ac)^n  - (ab +c)^n \geq n(ab)^{n-1}(a-1)c,<br />
\]

i dalej (skoro $ b \geq 1 $):

\[<br />
\qquad (5) (ab+ac)^n  - (ab +c)^n \geq na^{n-1}(a-1)c.<br />
\]

Jeszcze raz stosujemy nierówność Bernoulli'ego (3) przyjmując $ y = 1/a $:

\[<br />
\frac{1}{a^n}-1\geq n\left(\frac{1}{a}-1\right);<br />
\]

po przekształceniu:

\[<br />
\qquad (6) na^{n-1}(a-1)\geq a^n-1.<br />
\]

Z zależności (5) i (6) natychmiast wynika dowodzona nierówność (1).

Uwaga: Nierówność (4) można także uzasadnić stosując wzór dwumianowy:

\[<br />
\begin{split}<br />
(ab + ac)^n - (ab + c)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ab)^{n-k}(ac)^n -\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ab)^{n-k}c^k =\\<br />
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (ab)^{n-k}(a^k-1)c^k;<br />
\end{split}<br />
\]

wszystkie składniki tej sumy są liczbami nieujemnymi; a składnik odpowiadający wartości $ k = 1 $ to dokładnie prawa strona wzoru (4).

Sposób III

Przeprowadzimy indukcyjny dowód nierówności (1), którą teraz wygodnie będzie zapisać tak:

\[<br />
\qquad (7) (ab + ac)^n-(ab + c)^n + c(1-a^n) \geq 0;<br />
\]

$ a $, $ b $, $ c $ są danymi liczbami rzeczywistymi, $ a, b \geq 1 $, $ c \geq 0 $.

Dla $ n = 1 $ mamy równość we wzorze (7). Ustalmy liczbę naturalną $ n \geq 1 $, oznaczmy: $ u = (ab + ac)^n $, $ v = (ab + c)^n $, $ w = a^n $ i przyjmijmy indukcyjnie, że dla tej liczby $ n $ zdanie (7) jest prawdziwe:

\[<br />
u - v + c - cw \geq 0.<br />
\]

Teza indukcyjna, czyli nierówność (7) z $ n $ zastąpionym przez $ n+1 $, ma postać:

\[<br />
\qquad (8) (ab + ac)u - (ab+c)v + c - acw \geq 0.<br />
\]

Otóż lewa strona (8) jest równa

\[<br />
a(u - v + c - cw) + a(u - v)(b + c- 1) + (a - 1)(v - 1)c;<br />
\]

pomijamy czysto mechaniczne sprawdzenie. W tej ostatniej sumie wszystkie trzy składniki są liczbami nieujemnymi: pierwszy - na podstawie założenia indukcyjnego, a pozostałe dwa - w wyniku założeń o liczbach $ a $, $ b $, $ c $. To dowodzi słuszności związku (8) i kończy dowód indukcyjny.

Sposób IV

Dzielimy daną w treści zadania nierówność stronami przez $ a^n $ i otrzymujemy nierówność równoważną:

\[<br />
\left(b+\frac{c}{a}\right)^n-\frac{c}{a^n}\leq (b+c)^n-c.<br />
\]

Weźmy pod uwagę funkcję

\[<br />
f(x) = (cx + b)^n-cx^n\ \textrm{dla}\ x>0<br />
\]

($ a $, $ b $, $ c $, $ n $ są ustalonymi parametrami spełniającymi podane warunki). Zadanie sprowadza się do wykazania, że $ f(1/a) \leq f(1) $.

Funkcja $ f $ jest w przedziale $ (0,\ 1\rangle $ niemalejąca, bowiem

\[<br />
f'(x) = nc(cx + b)^{n-1}-ncx^{n-1} \geq 0\ \textrm{dla}\ x \in (0,\ 1\rangle;<br />
\]

Ostatnia nierówność wynika z tego, że $ cx + b\geq 1 \geq x $ gdy $ 0<x \leq 1 $.

Tak więc $ f(x) \leq f(1) $ dla $ x \in (0,\ 1\rangle $. Podstawiamy $ x = 1/a $ i mamy nierówność, którą chcieliśmy otrzymać.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź