XLVIII OM - I - Zadanie 4

Udowodnić, że liczba naturalna $ n \geq 2 $ jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby naturalne $ a,b,x,y \geq 1 $ spełniające warunki: $ a+b=n $, $ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 $.

Rozwiązanie

Niech $ n $ będzie liczbą złożoną: $ n = qr $, $ q \geq 2 $, $ r \geq 2 $. Przyjmijmy:

\[<br />
a = r, \qquad  b=(q-1)r, \qquad  x = 1, \qquad y = (q-1)(r-1);<br />
\]

są to dodatnie liczby całkowite o własnościach:

\[<br />
\qquad (1) a + b = n, \qquad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.<br />
\]

Wykazaliśmy więc, że jeżeli $ n\geq 2 $ jest liczbą złożoną, to istnieją liczby całkowite $ a,b,x,y\geq 1 $ spełniające warunki (1).

Pozostała do dowodu implikacja przeciwna. Załóżmy, że dla pewnej liczby całkowitej $ n \geq 2 $ istnieje czwórka liczb całkowitych $ a,b,x,y\geq 1 $ spełniających równania (1). Z drugiego z tych równań wynika, że $ x < a $, $ y<b $ oraz

\[<br />
\qquad (2) ay = b(a-x).<br />
\]

Oznaczmy przez $ d $ największy wspólny dzielnik liczb $ a $ i $ b $ oraz przyjmijmy: $ a = \alpha d $, $ b = \beta d $. Liczby $ \alpha $ i $ \beta $ są względnie pierwsze. Pierwsze równanie (1) daje zależność: $ n = (\alpha + \beta )d $. Czynnik $ \alpha + \beta $ jest większy od $ 1 $. Aby uzyskać wymaganą konkluzję, że $ n $ jest liczbą złożoną, wystarczy wobec tego wykazać, że $ d > 1 $.

Równanie (2) po podzieleniu przez $ d $ przybiera postać $ \alpha y = \beta (a-x) $. Zatem liczba $ \beta $, jako względnie pierwsza z $ \alpha $, musi być dzielnikiem liczby $ y $. Stąd $ \beta \leq y $. Skoro zaś $ y<b $, dostajemy nierówność $ \beta<b $, iw konsekwencji $ d = b/\beta>1 $.

Wniosek: Z istnienia liczb $ a,b,x,y\geq 1 $ spełniających warunki (1) wynika, że $ n $ jest liczbą złożoną. W połączeniu z udowodnioną wcześniej implikacją przeciwną daje to tezę zadania.

Komentarze

;_;

dlaczego OM jest taki trudny :/

Dodaj nową odpowiedź