LX OM - III - Zadanie 3

Niech $ P, Q, R $ będą wielomianami stopnia co najmniej jeden, o współczynnikach rzeczywistych,
spełniającymi dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ równości

\[<br />
P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P (x)).<br />
\]

Wykazać, że $ P = Q = R $.

Rozwiązanie

Sposób I.

Udowodnimy najpierw, że jeśli wielomiany $ W_1, W_2 $ spełniają dla każdej liczby rzeczywistej x równość

\[<br />
(1) \qquad W_1(W_1(W_1(x))) = W_2(W_2(W_2(x))),<br />
\]

to $ W_1 = W_2 $.

Łatwo zauważyć, że wielomiany te mają ten sam stopień. Dla wielomianów stopnia 0 (stałych) nie ma
czego dowodzić. Załóżmy więc, że ich stopień jest równy co najmniej 1.

Zauważmy, że jeżeli równość (1) jest spełniona, to obydwa te wielomiany są zgodnie monotoniczne na
przedziale $ (x_1, \infty) $ dla pewnego $ x_1 $ oraz są zgodnie monotoniczne na przedziale
$ (-\infty,x_1') $ dla pewnego $ x_1' $. W przeciwnym razie $ W_1(W_1(W_1(x))) $ i $ W_2(W_2(W_2(x))) $
dla odpowiednio dużych $ x $ przyjmowałyby wartości o przeciwnych znakach. Zatem możliwe są następujące sytuacje:

  1. $ W_1, W_2 $ są ściśle rosnące na przedziale $ (x_1, \infty) $.
  2. $ W_1, W_2 $ są ściśle rosnące na przedziale $ (-\infty,x'_1 ) $.
  3. Nie zachodzi ani pierwszy, ani drugi przypadek, czyli zarówno na $ (-\infty,x_1) $, jak i na
    $ (x_1, \infty) $, oba wielomiany są malejące.

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy, że równość (1) jest spełniona, ale
$ W_1 \neq W_2 $. Wówczas równanie $ W_1(x) - W_2(x) = 0 $ ma skończenie wiele rozwiązań. W przypadku 1
istnieje zatem taka liczba $ x_2 $, że dla wszystkich liczb $ x>x_2 $ zachodzi $ W_1(x) >W_2(x) $
(lub na odwrót, co nie ma znaczenia dla ogólności rozumowania).

Niech $ x_3 = \max\{x_1,x_2\} $ i niech $ x_0 $ będzie taką liczbą rzeczywistą, że liczby
$ x_0 $, $ W_2(x_0) $ oraz $ W_2(W_2(x_0)) $ są większe od $ x_3 $. Istnienie takiej liczby $ x_0 $ wynika
z tego, że $ W_2 $ jest wielomianem dodatniego stopnia, co wobec założenia dotyczącego monotoniczności
wielomianu $ W_2 $ daje $ \lim_{x \to \infty} W_2(x) = \lim_{x\to \infty} W_2(W_2(x)) = +\infty $.

Mamy więc $ W_1(x_0) >W_2(x_0) >x_3 $. Stąd $ W_1(W_1(x_0)) >W_1(W_2(x_0)) >W_2(W_2(x_0)) >x_3 $, zatem

\[<br />
W_1(W_1(W_1(x_0))) >W_1(W_1(W_2(x_0))) >W_1(W_2(W_2(x_0))) >W_2(W_2(W_2(x_0))).<br />
\]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że $ W_1 = W_2 $ w przypadku 1.

W przypadku 2 rozumowanie przebiega podobnie. Pozostaje rozpatrzeć przypadek 3. Zauważmy, że wtedy
wielomiany $ W_1'(x)= W_1(W_1(x)) $ i $ W_2'(x)= W_2(W_2(x)) $ dążą do $ +\infty $ dla $ x \to \infty $,
więc są rosnące na przedziale $ (x_1'', \infty) $ dla pewnego $ x_1'' $. Możemy zatem porzeprowadzić
dla $ W_1' $ i $ W_2' $ rozumowanie takie samo jak w przypadku 1 i w ten sposób wykazać, że
$ W_1' = W_2' $. Stąd $ W_1(W_1'(x))) = W_1(W_1(W_1(x))) = W_2(W_2(W_2(x))) = W_2(W_2'(x)) $,
więc $ W_1(W_1'(x))) = W_2(W_1'(x))) $. Wynika z tego, że $ W_1 = W_2 $, gdyż dla nieskończenie wielu
$ y $ zachodzi $ W_1(y)= W_2(y) $. To kończy dowód lematu.

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Podstawiając $ y = P(x) $ w równości $ P(Q(y)) = Q(R(y)) $ otrzymujemy
$ P(Q(P(x))) = Q(R(P(x))) $. Z drugiej strony, równość $ P(Q(x)) = R(P(x)) $ implikuje równość
$ Q(P(Q(x))) = Q(R(P(x))) $. Oznacza to, że $ P(Q(P(x))) = Q(P(Q(x))) $, a w konsekwencji

\[<br />
P(Q(P(Q(P(Q(x)))))) = Q(P(Q(P(Q(P(x)))))).<br />
\]

Stosując wcześniej dowiedzioną obserwację dla wielomianów $ W_1(x)= P(Q(x)) $ i $ W_2(x)= Q(P(x)) $
otrzymujemy $ P(Q(x)) = Q(P(x)) $. Stąd $ Q(P(x)) = R(P(x)) $, zatem $ Q = R $, gdyż, ponieważ $ P $ nie jest
stały, dla nieskończenie wielu $ y $ zachodzi $ Q(y)= R(y) $. Pozostałych równości dowodzimy w ten sam sposób.

Sposób II.

Niech $ p = \deg(P) $, $ q = \deg(Q) $ oraz $ r = \deg(R) $ będą stopniami wielomianów odpowiednio $ P $ , $ Q $ oraz $ R $ i niech

\[<br />
P(x)= \sum_{k=0}^p p_kx^k,\; Q(x)= \sum_{k=0}^q q_kx^k,\; R(x)= \sum_{k=0}^r r_kx^k.<br />
\]

Niech ponadto

\[<br />
P(Q(x)) = Q(R(x)) = R(P(x)) = \sum_{k=0}^m a_kx^k,<br />
\]

przy czym $ a_m \neq 0 $.

Zauważmy, że $ P(Q(x)) $ jest wielomianem stopnia $ pq $, czyli $ m = pq $. Podobnie, rozważając wielomiany
$ Q(R(x)) $ i $ R(P(x)) $ uzyskujemy $ m = qr $ oraz $ m = rp $. Skoro $ pq = qr = rp $ oraz $ p,q,r > 0 $, to
$ p = q = r $. Dla przejrzystości oznaczmy tę wspólną wartość jako $ n $. Wówczas $ m = pq = n^2 $.
Analizując współczynniki $ a_m,a_{m-1},\cdots ,a_{m-n+1} $, wykażemy kolejno, że dla $ i = n, n - 1,\cdots , 1 $
zachodzi $ p_i = q_i = r_i $.

Zacznijmy od obserwacji, że jeśli $ t $ jest dodatnią liczbą całkowitą, to

\[<br />
\begin{split}<br />
(Q(x))^t = \left(\sum_{j=0}^q q_jx^j\right)^t  &=<br />
\sum_{j_1,j_2,\cdots ,j_t \leqslant q} q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_t} x^{j_1+j_2+\cdots +j_t} = \\<br />
&= \sum_{k=0}^{q\cdot t} x^k \cdot \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_t \leqslant q \\ j_1+j_2+\cdots +j_t = k\end{array}}<br />
q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_t}.<br />
\end{split}<br />
\]

Występujące w powyższym wzorze liczby $ j_1,j_2,\cdots ,j_t $ są nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Zdefniujmy wielomian $ P'(x)= P(x) - p^nx^n $. Wtedy

\[<br />
(2) \qquad P(Q(x)) = p_n(Q(x))^n + P'(Q(x)).<br />
\]

$ P'(x) $ jest wielomianem stopnia co najwyżej $ n - 1 $, stąd $ \deg(P'(Q(x))) \leqslant n(n - 1) $.
Wynika z tego, że w celu wyznaczenia współczynników $ a_k $ dla $ k>m - n = n(n - 1) $ wystarczy skupić
uwagę na współczynnikach wielomianu $ p_n(Q(x))^n $, czyli

\[<br />
(3) \qquad a_k = p_n \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant q \\ j_1+j_2+\cdots +j_n=k\end{array}}<br />
q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_n},\quad \text{gdy }n(n - 1) <k \leqslant n^2.<br />
\]

Mamy $ a_{n^2}= p_nq_n^n= q_nr_n^n= r_np_n^n $. Liczby $ p_n,q_n,r_n $ są różne od 0, zatem zachodzi równość

\[<br />
p_n^{n(n-1)+1} = \frac{(p_nq_n^n)(r_np_n^n)^n}{p_n^nq_n^nr_n^n}<br />
= \frac{(q_nr_n^n)(p_nq_n^n)^n}{p_n^nq_n^nr_n^n} = q_n^{n(n-1)+1}<br />
\]

Identycznie uzyskujemy równość $ q_n^{n(n-1)+1}=r_n^{n(n-1)+1} $ . Wykładnik $ n(n - 1) + 1 $ jest liczbą
nieparzystą, więc $ p_n = q_n = r_n $.

Niech teraz $ i \in\{1, 2,\cdots ,n - 1\} $ i załóżmy, że $ p_j = q_j = r_j $ dla $ j>i $. Wtedy, korzystając
z (3), otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{split}<br />
a_{n(n-1)+i} &= \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)+i\end{array}}<br />
p_n q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_n} \\<br />
&= \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)+i\end{array}}<br />
q_n r_{j_1} r_{j_2} \cdots r_{j_n} \\<br />
&= \sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)+i\end{array}}<br />
r_n p_{j_1} p_{j_2} \cdots p_{j_n}<br />
\end{split}<br />
\]

Jedynymi sposobami przedstawienia liczby $ n(n-1)+i $ w postaci sumy
$ j_1 +j_2 +\cdots +j_n $ nieujemnych liczb całkowitych, z których żadna nie przekracza
$ n $ i nie wszystkie są większe niż $ i $, są te, w których jeden składnik wynosi $ i $, a pozostałe są równe $ n $.
Takich przedstawień jest $ n $, gdyż $ i $ może być dowolną spośród liczb $ j_1,j_2,\cdots ,j_n $.
Założyliśmy, że $ p_j = q_j = r_j $ dla $ j>i $, więc z równości (4) wynika

\[<br />
np_nq_iq_n^{n-1} = nq_nr_ir_n^{n-1} = nr_np_ip_n^{n-1},<br />
\]

co wobec tego, że $ p_n = q_n = r_n \neq 0 $, pociąga za sobą równość $ p_i= q_i = r_i $. To kończy dowód kroku indukcyjnego.

Pokażemy teraz, że p_0 = q_0 = r_0. W przypadku gdy $ n> 1 $, wystarczy w tym celu rozważyć współczynnik
$ a_{n(n-1)} $. Analizując (2), widzimy, że w wielomianie $ P'(Q(x)) $ współczynnikiem przy
$ x^{n(n-1)} $ jest $ p_{n-1}q_n^n $, zatem $ a_{n(n-1)} $ jest sumą $ p_{n-1}q_n^n $ i współczynnika przy
$ x^{n(n-1)} $ w wielomianie $ p_n(Q(x))^n $. Stąd

\[<br />
a_{n(n-1)} = p_{n-1}q_n^{n-1} +<br />
\sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)\end{array}}<br />
p_n q_{j_1} q_{j_2} \cdots q_{j_n}<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
\begin{split}<br />
a_{n(n-1)} &= q_{n-1}r_n^{n-1} +<br />
\sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)\end{array}}<br />
q_n r_{j_1} r_{j_2} \cdots r_{j_n} \\<br />
&= r_{n-1}p_n^{n-1} +<br />
\sum_{\begin{array}{cc} j_1,j_2,\cdots ,j_n \leqslant n \\ j_1+j_2+\cdots +j_n = n(n-1)\end{array}}<br />
r_n p_{j_1} p_{j_2} \cdots p_{j_n}<br />
\end{split}<br />
\]

Wiemy, że $ p_j = q_j = r_j $ dla $ j> 0 $, więc, podobnie jak poprzednio, dostajemy
$ np_nq_0q_n^{n-1} = nq_nr_0r_n^{n-1} = nr_np_0p_n^{n-1} $ , skąd $ p_0 = q_0 = r_0 $.
Pokazaliśmy zatem, że gdy $ n> 1 $, wielomiany $ P $ , $ Q $ oraz $ R $ mają odpowiednie współczynniki równe,
więc $ P = Q = R $.

Przypadek $ n = 1 $ wymaga oddzielnego rozważenia. Jeśli wielomiany
$ P(x)= p_1x + p_0 $, $ Q(x)= q_1x + q_0 $ oraz $ R(x)= r_1x + r_0 $ spełniają warunki zadania, to, jak
pokazaliśmy wcześniej, $ p_1 = q_1 = r_1 \neq 0 $. Porównując wyrazy wolne wielomianów
$ P(Q(x)) $, $ Q(R(x)) $ i $ R(P(x)) $ dostajemy $ p_1q_0 + p_0 = p_1r_0 + q_0 = p_1p_0 + r_0 $,
a stąd łatwo uzyskujemy, że $ p_0 = q_0 = r_0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź