XLVIII OM - I - Zadanie 7

Obliczyć kres górny objętości czworościanów zawartych w kuli o danym promieniu $ R $, których jedną z krawędzi jest średnica tej kuli.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie jednym z rozważanych czworościanów. Przyjmijmy, że krawędź $ AB $ jest średnicą danej kuli. Oznaczmy odległość punktu $ C $ od prostej $ AB $ przez $ w $, a odległość punktu $ D $ od płaszczyzny $ ABC $ - przez $ h $. Objętość czworościanu $ ABCD $ jest równa

\[<br />
V = \frac{1}{3} \cdot\ \textrm{pole} (ABC) \cdot h = \frac{1}{3}( \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot w) \cdot h = \frac{1}{3} Rwh.<br />
\]

Oczywiście $ w \leq R $, $ h \leq R $, i wobec tego $ V \leq \frac{1}{3} R^3 $.

Czworościan $ ABCD $ był wybrany dowolnie; zatem kres górny objętości rozważanych czworościanów nie przekracza liczby $ \frac{1}{3} R^3 $.

Gdy $ ABC $ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej $ AB $, wówczas $ w = R $. Gdy z kolei $ ABD $ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej $ AB $, leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny $ ABC $, wówczas także $ h = R $. Gdy oba te warunki są spełnione, zachodzi równość $ V= \frac{1}{3} R^3 $.

Wniosek: kres górny rozważanych objętości jest równy $ \frac{1}{3} R^3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź