XLVIII OM - I - Zadanie 11

Dana jest liczba naturalna $ m\geq 1 $ oraz wielomian $ P(x) $ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych mający co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian $ P(x) + 5^m $ ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby całkowite $ a $, $ b $, $ c $ są różnymi pierwiastkami wielomianu $ P(x) $. Przypuśćmy, wbrew dowodzonej tezie, że wielomian $ P(x) + 5^m $ ma dwa różne pierwiastki całkowite $ u $ i $ v $. Można przyjąć, że $ u>v $.

Dla każdej pary różnych liczb całkowitych $ x_1 $, $ x_2 $ liczba $ P(x_1)-P(x_2) $ dzieli się przez $ x_1-x_2 $. [Uzasadnienie: jeżeli $ P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n $ ($ a_i $, całkowite), to różnica $ P(x_1)-P(x_2) $ jest sumą składników $ a_i(x_1^i-x_2^i $) dla $ i = 1,\ldots,n $, a każdy z tych składników dzieli się przez $ x_1 -x_2 $.]

Biorąc jako $ x_1 $ liczby $ u $ i $ v $, a jako $ x_2 $ liczby $ a $, $ b $ i $ c $, dostajemy za każdym razem różnicę $ P(x_1) - P(x_2) $ równą $ -5^m $. Skoro ma się ona dzielić przez każdą z rozważanych różnic $ x_1 -x_2 $, muszą zachodzić równości

\[ (1) \quad<br />
\begin{array}{lll}<br />
|u-a| = 5^j,&    |u-b| = 5^k,& |u-c|=5^l,\\<br />
|v-a| = 5^n,&    |v-b| = 5^p,& |v-c|=5^q\\<br />
\end{array}<br />
\]

dla pewnych wykładników całkowitych $ j, k,l,n,p,q\geq 0 $.

Zapiszmy różnicę $ u-v $ w postaci $ u-u = 5^\alpha w $;, gdzie $ \alpha \geq 0 $, $ w > 0 $ są liczbami całkowitymi, przy czym $ w $ nie dzieli się przez $ 5 $. Z dwóch pierwszych równości (1) wynika, że

\[<br />
u-v=(u-a)-(v-a) = (\pm 5^j) - (\pm 5^n) = 5^{\min\{j, n\}} (\pm 5^{|j-n|} \pm1).<br />
\]

Liczba w ostatnim nawiasie nie dzieli się przez $ 5 $; jest więc równa $ w $, a wykładnik $ \min\{j,n\} $ jest równy $ \alpha $. A ponieważ $ w>0 $, znak $ \pm $ przed $ 5^{|j-n|} $ można pominąć.

Pisząc następnie liczbę $ u - v $ jako $ (u-b) - (v-b) $ oraz jako $ (u-c) - (v-c) $ i korzystając z pozostałych zależności (1) otrzymujemy analogicznie związki

\[<br />
\qquad (2) \alpha = \min\{j,n\} = \min\{k,p\} = \min\{l,q\},<br />
\]
\[<br />
\qquad (3) w = 5^{|j-n|} \pm 1 = 5^{|k-p|}\pm 1 = 5^{|l-q|} \pm  1.<br />
\]

Zauważmy wszelako, że liczba $ w $ może mieć tylko jedno przedstawienie postaci $ 5^\delta+\varepsilon $ ($ \delta \geq 0 $ całkowite, $ \varepsilon \in \{+1,-1\} $). Z równości (3) wynika więc, że wykładniki $ |j-n| $, $ |k-p| $, $ |l-q| $ są równe. Oznaczmy ich wspólną wartość przez $ \delta $ oraz przyjmijmy $ \beta=\alpha+\delta $.

W myśl związków (2), w każdej z trzech par $ \{j,n\} $, $ \{k,p\} $, $ \{l,q\} $ jedna liczba równa się $ \alpha $; pozostała musi się równać $ \beta $. Zatem pewne dwie spośród liczb $ j $, $ k $, $ l $ są równe; niech na przykład $ j = k $. Wówczas $ n = p $ (jeśli $ j = k = \alpha $, to $ n = p = \beta $, a jeśli $ j = k = \beta $, to $ n = p = \alpha $) i wobec związków (1):

\[<br />
|u - a| = |u - b|  \  \textrm{oraz} \   |v - a| = |v - b|.<br />
\]

Zgodnie z założeniem, liczby $ a $ i $ b $ nie są równe; otrzymane równości oznaczają w takim razie, że $ (u-a) = (b-u) $ oraz $ (v - a) = (b-v) $. Stąd $ 2u = a + b $ oraz $ 2v = a+b $, wbrew temu, że $ u>v $. Sprzeczność kończy dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź