XLVIII OM - I - Zadanie 12

Grupa złożona z $ n $ osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mogą wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkają się na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba $ n $ przy dzieleniu przez $ 6 $ daje resztę $ 1 $ lub $ 3 $.

Rozwiązanie

Niech $ m $ będzie liczbą dni, w ciągu których osoby z owej grupy zamierzają chodzić trójkami na obiady. Z $ n $ osób można utworzyć $ \frac{1}{2}n(n-1) $ par. Każdego dnia trzy pary spotkają się na obiedzie, a więc $ \frac{1}{2}n(n- 1) = 3m $.

Każda osoba spotka na obiadach w omawianym okresie wszystkie pozostałe $ n -1 $ osób. Na jednym obiedzie spotka dwie spośród nich; nikogo nie spotka dwukrotnie. Zatem $ n -1 $ jest liczbą parzystą, i wobec tego

\[<br />
n \equiv 1 (\mod 6)   \ \textrm{lub} \   n \equiv 3 (\mod 6) \   \textrm{lub}\    n \equiv 5 (\mod 6).<br />
\]

Ostatnia możliwość prowadzi do wniosku, że $ n(n -1) \equiv 5 \cdot 4 \equiv 2 (\mod 6) $, wbrew temu, że $ n(n - 1) = 6m $. Tak więc $ n \equiv 1 $ lub $ n \equiv 3 (\mod 6) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź