LX OM - III - Zadanie 4

Niech $ x_1,x_2,\cdots ,x_n $ będą liczbami nieujemnymi, których suma wynosi 1. Udowodnić, że istnieją
liczby $ a1,a2,\cdots ,an \in \{0, 1, 2, 3, 4\} $ takie, że $ (a_1,a_2,\cdots ,a_n) \neq (2, 2,\cdots , 2) $ oraz

\[<br />
2 \leqslant a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n \leqslant 2+ \frac{2}{3^n-1}.<br />
\]

Rozwiązanie

Rozważmy wszystkie możliwe ciągi $ t =(t_1,t_2,\cdots ,t_n) $ takie, że $ t_1,t_2,\cdots ,t_n \in \{0, 1, 2\} $.
Jest ich $ 3n $. Dla każdego z nich niech $ S_t $ oznacza sumę $ t_1x_1 +t_2x_2 +\cdots +t_nx_n $.
Ponieważ liczby $ x_1,x_2,\cdots ,x_n $ są nieujemne i ich suma wynosi 1, więc zachodzą nierówności

\[<br />
0=0 \cdot x_1 +0 \cdot x_2 + \cdots  +0 \cdots x_n \leqslant S_t \leqslant 2 \cdot x_1 +2 \cdot x_2 + \cdots  +2 \cdot x_n =2.<br />
\]

Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że istnieją dwa różne ciągi $ b =(b_1,b_2,\cdots ,b_n) $
oraz $ c = (c_1,c_2,\cdots ,c_n) $ o wyrazach w zbiorze $ \{0, 1, 2\} $ takie, że odpowiadające im sumy
$ S_{b} $ oraz $ S_{c} $ należą do tego samego spośród $ 3n -1 $ przedziałów
$ [0, \frac{2}{3^n-1}) $, $ [\frac{2}{3^n-1}, \frac{4}{3^n-1}) $, $ [\frac{4}{3^n-1}, \frac{6}{3^n-1}) $,
$ \cdots, [\frac{2(3^n-5)}{3^n-1}, \frac{3^n-3}{3^n-1}) $, $ [\frac{2(3^n-3)}{3^n-1}, 2] $.
Bez zmniejszania ogólności rozumowania możemy założyć, że $ S_{b} $ . $ S_{c} $ i wówczas

\[<br />
(1) \qquad 0 \leqslant S_{c} - S_{b} \leqslant \frac{2}{3^n-1}.<br />
\]

Pokażemy, że warunki zadania spełnia ciąg $ a =(a_1,a_2,\cdots ,a_n) $ określony wzorem

\[<br />
a_i =2+ c_i - b_i \quad \text{ dla }i =1, 2, \cdots , n.<br />
\]

Każdy z jego wyrazów jest liczbą ze zbioru $ \{0, 1, 2, 3, 4\} $. Ponadto $ b\neq (2, 2,\cdots , 2) $,
gdyż ciągi $ b $ i $ c $ są różne. Zachodzi także równość

\[<br />
S_{a} = \sum_{i=1}^n (2+ c_i - b_i)x_i =\sum_{i=1}^n 2x_i + \sum_{i=1}^nc_ix_i - \sum_{i=1}^n b_ix_i<br />
=2+ S_{c} - S_{b},<br />
\]

skąd, wobec (1), dostajemy $ 2 \leqslant a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots  + a_nx_n \leqslant 2 + \frac{2}{3^n-1} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź