XLVII OM - I - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ n $, dla których równanie $ 2 \sin nx = \tan x + \cot x $ ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych $ x $.

Rozwiązanie

Załóżmy, że dane równanie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych: niech $ \alpha $ będzie jednym z tych rozwiązań. Oczywiście $ \alpha $ nie może być całkowitą wielokrotnością $ \pi/2 $, bo dla takich liczb prawa strona traci sens. Zgodnie z równaniem,

\[<br />
2 \sin n \alpha = \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{2}{\sin 2 \alpha};<br />
\]

stąd $ 2\sin n\alpha \cdot \sin 2\alpha=2 $, czyli

\[<br />
\cos(n-2)\alpha-\cos(n+2)\alpha = 2<br />
\]

(korzystamy tu ze wzoru: $ \cos u - \cos v = 2\sin \frac{1}{2}(u+v)\sin\frac{1}{2}(v-u)) $. Różnica dwóch kosinusów jest równa $ 2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy z nich ma wartość $ 1 $, a drugi $ -1 $. Dostajemy więc układ równości

\[<br />
\cos(n-2)\alpha = 1, \quad      \cos(n + 2)\alpha = -1,<br />
\]

z których wynika, że

\[<br />
(1) \qquad  (n-2)\alpha = 2q\pi, \quad      (n + 2)\alpha = (2p + 1) \pi<br />
\]

($ p, q $ liczby całkowite).

W drugiej z równości (1) mamy po prawej stronie liczbę różną od zera; zatem i lewa strona ma wartość różną od zera. Możemy wobec tego podzielić pierwszą równość stronami przez drugą. Dostajemy związek $ \frac{n-2}{n+2}=\frac{2q}{2p+1} $.

Wprowadzając oznaczenie $ n-2 = m $ przepisujemy ten związek w postaci $ (2p+1)m = 2q(m+4) $, czyli

\[<br />
(2p-2q+1)m = 8q.<br />
\]

Widzimy, że liczba $ m $ pomnożona przez liczbę nieparzystą daje w wyniku liczbę podzielną przez $ 8 $, co jest możliwe tylko wtedy, gdy sama liczba $ m $ dzieli się przez $ 8 $. Skoro zaś $ n = m + 2 $, znaczy to, że liczba $ n $ daje w dzieleniu przez $ 8 $ resztę $ 2 $.

Biorąc jeszcze pod uwagę warunek zadania mówiący, że liczba $ n $ ma być dodatnia, dochodzimy do następującej konkluzji:

\[<br />
(2) \qquad  \quad n \textrm{ jest liczbą postaci } 8k+2,\ k \textrm{ całkowite},\ k \geq 0.<br />
\]

Na odwrót, jeśli liczba $ n $ ma taką postać, to rozważane równanie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych --- jednym nich jest na przykład liczba $ x = \frac{1}{4} \pi $; istotnie: dla $ x=\frac{1}{4} \pi $ oraz $ n = 8k + 2 $ mamy $ nx = 2k\pi + \frac{1}{2} \pi $, skąd $ \sin nx = 1 $; zarówno lewa jak i prawa strona równania ma wartość $ 2 $.

Wniosek: liczby, których wyznaczenie było celem zadania, są scharakteryzowane przez zdanie (2).

Uwaga: Wspomnimy jeszcze wariant rozwiązania polegający na spostrzeżeniu (od razu na początku), że dla każdej liczby $ x $ prawa strona równania, jako liczba postaci $ t + (1/t) $, ma wartość bezwzględną nie mniejszą niż $ 2 $, podczas gdy wartość bezwzględna lewej strony jest nie większa od $ 2 $. Równanie może więc być spełnione tylko wtedy, gdy obie strony mają wartość $ 2 $ lub $ -2 $. Każda z tych możliwości daje układ dwóch prostych równań trygonometrycznych. Dokończenie rozumowania jest łatwym zadaniem i prowadzi do wniosku (2), dającego charakteryzację poszukiwanych liczb $ n $. Czytelnikowi pozostawiamy dopracowanie szczegółów.

Załóżmy, że dane równanie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych: niech $ \alpha $ będzie jednym z tych rozwiązań. Oczywiście $ \alpha $ nie może być całkowitą wielokrotnością $ \pi/2 $, bo dla takich liczb prawa strona traci sens. Zgodnie z równaniem,

\[<br />
2 \sin n \alpha = \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{2}{\sin 2 \alpha}<br />
\]

stąd $ 2\sin n\alpha \cdot \sin 2\alpha=2 $, czyli

\[<br />
\cos(n-2)\alpha-\cos(n+2)\alpha = 2<br />
\]

(korzystamy tu ze wzoru: $ \cos u - \cos v = 2\sin \frac{1}{2}(u+v)\sin\frac{1}{2}(v-u)) $. Różnica dwóch kosinusów jest równa $ 2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy pierwszy z nich ma wartość $ 1 $, a drugi $ -1 $. Dostajemy więc układ równości

\[<br />
\cos(n-2)\alpha = 1, \quad      \cos(n + 2)\alpha = -1,<br />
\]

z których wynika, że

\[<br />
\qquad (1) (n-2)\alpha = 2q\pi, \quad      (n + 2)\alpha = (2p + 1) \pi<br />
\]

($ p, q $ liczby całkowite).

W drugiej z równości (1) mamy po prawej stronie liczbę różną od zera; zatem i lewa strona ma wartość różną od zera. Możemy wobec tego podzielić pierwszą równość stronami przez drugą. Dostajemy związek $ \frac{n-2}{n+2}=\frac{2q}{2p+1} $.

Wprowadzając oznaczenie $ n-2 = m $ przepisujemy ten związek w postaci $ (2p+1)m = 2q(m+4) $, czyli

\[<br />
(2p-2q+1)m = 8q.<br />
\]

Widzimy, że liczba $ m $ pomnożona przez liczbę nieparzystą daje w wyniku liczbę podzielną przez $ 8 $, co jest możliwe tylko wtedy, gdy sama liczba $ m $ dzieli się przez $ 8 $. Skoro zaś $ n = m + 2 $, znaczy to, że liczba $ n $ daje w dzieleniu przez $ 8 $ resztę $ 2 $.

Biorąc jeszcze pod uwagę warunek zadania mówiący, że liczba $ n $ ma być dodatnia, dochodzimy do następującej konkluzji:

\[<br />
\qquad (2) \quad n \textrm{ jest liczbą postaci } 8k+2,\ k \textrm{ całkowite},\ k \geq 0.<br />
\]

Na odwrót, jeśli liczba $ n $ ma taką postać, to rozważane równanie ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych --- jednym nich jest na przykład liczba $ x = \frac{1}{4} \pi $; istotnie: dla $ x=\frac{1}{4} \pi $ oraz $ n = 8k + 2 $ mamy $ nx = 2k\pi + \frac{1}{2} \pi $, skąd $ \sin nx = 1 $; zarówno lewa jak i prawa strona równania ma wartość $ 2 $.

Wniosek: liczby, których wyznaczenie było celem zadania, są scharakteryzowane przez zdanie (2).

Uwaga: Wspomnimy jeszcze wariant rozwiązania polegający na spostrzeżeniu (od razu na początku), że dla każdej liczby $ x $ prawa strona równania, jako liczba postaci $ t + (1/t) $, ma wartość bezwzględną nie mniejszą niż $ 2 $, podczas gdy wartość bezwzględna lewej strony jest nie większa od $ 2 $. Równanie może więc być spełnione tylko wtedy, gdy obie strony mają wartość $ 2 $ lub $ -2 $. Każda z tych możliwości daje układ dwóch prostych równań trygonometrycznych. Dokończenie rozumowania jest łatwym zadaniem i prowadzi do wniosku (2), dającego charakteryzację poszukiwanych liczb $ n $. Czytelnikowi pozostawiamy dopracowanie szczegółów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź