XLVII OM - I - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dany jest trójkat $ ABC $, w którym $ |\measuredangle CAB| = \alpha > 90^{\circ} $, oraz odcinek $ PQ $, którego środkiem jest punkt $ A $. Dowieść, że

\[<br />
\left( |BP| + |CQ| \right)\cdot \tan \frac{\alpha}{2} \geq |BC|.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ M $ środek boku $ BC $ trójkąta $ ABC $, a przez $ O $ - środek okręgu $ \omega $ opisanego na tym trójkącie. Kąt $ CAB $ jest z założenia rozwarty. Stąd wynika, że punkty $ A $ i $ O $ leżą po przeciwnych stronach prostej $ BC $; w szczególności punkt $ O $ nie pokrywa się z $ M $.

Niech $ ON $ będzie promieniem okręgu $ \omega $ przechodzącym przez punkt $ M $ (rysunek 4). Okrąg $ \omega' $ o środku $ M $ i promieniu $ MN $ jest styczny do okręgu $ \omega $ w punkcie $ N $, a punkt $ A $ leży na zewnątrz okręgu $ \omega' $ (lub na nim - gdy pokrywa się z $ N $). W takim razie $ |MA| \geq |MN| $.

om47_1r_img_4.jpg

Punkty $ B $ i $ C $ leżą symetrycznie względem prostej $ NO $, która wobec tego połowi kąt $ BNC $. A ponieważ $ | \measuredangle BNC | = |\measuredangle BAC| = \alpha $ (kąty wpisane oparte na długim łuku $ BC $), dostajemy równość

\[<br />
| \measuredangle MNC | = \frac{1}{2}|\measuredangle BNC| = \frac{1}{2} \alpha.<br />
\]

Na przedłużeniu boku $ CA $ odkładamy równy mu długością odcinek $ AD $. Powstaje trójkąt $ BCD $; punkty $ A $ i $ M $ są środkami jego boków $ CD $ i $ CB $. Trójkąty $ BCD $ i $ MCA $ są więc podobne. Otrzymujemy zależność

\[<br />
(1) \qquad  \quad \tan \frac{\alpha}{2} = \tan |\measuredangle MNC| = \frac{|MC|}{|MN|} \geq \frac{|MC|}{|MA|} = \frac{|BC|}{|BD|}.<br />
\]

Punkt $ A $ jest wspólnym środkiem odcinków $ PQ $ i $ CD $. Zatem czworokąt $ CPDQ $ jest równoległobokiem (który może degenerować się do odcinka; zauważmy, że rozumowanie jest w tym fragmencie zupełnie niezależne od położenia punktów $ P $ i $ Q $ względem rozważanych do tej pory odcinków i okręgów). Tak więc $ |CQ|=|PD| $, skąd

\[<br />
(2) \qquad  |BP| + |CQ| = |BP| + |PD| \geq |BD|.<br />
\]

Mnożymy stronami nierówności (1) i (2) i otrzymujemy nierówność

\[<br />
(|BP| + |CQ|) \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \geq |BC|,<br />
\]

która była dana do udowodnienia.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź