XLVII OM - I - Zadanie 6

Dane są dwa ciągi liczb całkowitych dodatnich: ciąg arytmetyczny o różnicy $ r > 0 $ i ciąg geometryczny o ilorazie $ q > 1 $; liczby naturalne $ r $, $ q $ są względnie pierwsze. Udowodnić, że jeśli te ciągi mają jeden wspólny wyraz, to mają nieskończenie wiele wspólnych wyrazów.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ r_i $ resztę z dzielenia liczby $ q^i $ przez $ r\ (i = 1,2,3,\ldots) $. W nieskończonym ciągu $ (r_1,r_2,r_3,\ldots) $, którego wyrazy przybierają tylko skończenie wiele wartości, muszą wystąpić powtórzenia. Istnieją zatem różne numery $ i $, $ j $ takie, że $ r_i = r_j $. Różnica $ q^i-q^j $ jest wówczas podzielna przez $ r $. Przyjmując, że $ i >j $, możemy tę różnicę zapisać tak:

\[<br />
q^i-q^j=q^j(q^{i-j} -1).<br />
\]

Liczba po prawej stronie ma się dzielić przez $ r $ (bo lewa strona dzieli się przez $ r $). Czynnik $ q^j $ jest względnie pierwszy z $ r $ (warunek zadania). Zatem czynnik $ (q^{i-j}-1) $ musi dzielić się przez $ r $. Istnieje więc liczba całkowita $ l $ taka, że $ q^{i-j}-1=lr $. Oznaczając różnicę $ i-j $ przez $ k $ mamy równość $ q^k=1+lr $.

Niech $ (a_1,a_2,\ldots) $ będzie rozważanym ciągiem arytmetycznym, a $ (b_1,b_2, \ldots) $ rozważanym ciągiem geometrycznym. Zakładamy, że mają one wspólny wyraz $ a_m = b_n $. Wówczas

\[<br />
b_{n + k} =b_nq^k =b_n(1+lr) =a_m(1+lr) =a_m+r \cdot l a_m =a_{m+s},<br />
\]

gdzie $ s=la_m $. Znaleźliśmy w ten sposób nową parę wspólnych wyrazów rozpatrywanych ciągów (o numerach większych od $ m $ i $ n $). Powtarzając to rozuwanie znajdujemy nieskończenie wiele wspólnych wyrazów.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź