XLVII OM - I - Zadanie 7

Liczby nieujemne $ a $, $ b $, $ c $, $ p $, $ q $, $ r $ spełniają warunki:

\[<br />
a + b + c = p + q + r = 1; \quad p, q, r \leq \frac{1}{2}.<br />
\]

Udowodnić, że $ 8abc \leq pa + qb + rc $ oraz rozstrzygnąć, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Bez straty ogólności można przyjąć, że $ a \geq b \geq c $. Przeprowadzimy ciąg szacowań opartych na następujących nierównościach (które są konsekwencjami przyjętego przed chwilą założenia oraz warunków zadania):

\[<br />
\begin{split}<br />
& (1) \qquad  \quad pa \geq pb; \quad (1-2r)(b-c)\geq 0;\\<br />
& (2) \qquad  \quad a(b+c)^2 \geq a \cdot 4bc; \quad (1-a)(2a-1)^2\geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Korzystając z zależności (1) dostajemy oszacowanie:

\[<br />
\begin{split}<br />
pa+qb+rc & \geq (p+q)b+rc =  (1-r)b+rc =\\<br />
& = \frac{1}{2} (1-2r)(b-c) + \frac{1}{2}(b+c) \geq  \frac{1}{2} (b+c) = \frac{1}{2}(1-a);<br />
\end{split}<br />
\]

korzystając zaś ze związków (2) mamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
8abc & = 2a \cdot 4bc \leq 2a(b+c)^2 = 2a(1-a)^2 =\\<br />
& = \frac{1}{2} (1-a)[1-(2a-1)^2] \leq \frac{1}{2}(1-a).<br />
\end{split}<br />
\]

Widzimy więc, że liczba $ \frac{1}{2}(1-a) $ jest nie mniejsza niż lewa strona danej do udowodnienia nierówności i nie większa niż prawa jej strona. Stąd, rzecz jasna, wynika teza.

Aby udowodniona nierówność stała się równością, musi zachodzić równość w każdym kroku powyższych szacowań; to znaczy: obie nierówności (1) oraz obie nierówności (2) muszą stać się równościami. Przypuśćmy więc, że tak jest.

Znak równości w drugim ze związków (2) oznacza, że $ a=1 $ lub $ a=\frac{1}{2} $; zatem $ a \ne 0 $ i pierwszy ze związków (2) implikuje równość $ (b + c)^2 = 4bc $, która zachodzi tylko dla $ b = c $. Wobec założenia, że suma liczb $ a,b,c $ jest równa $ 1 $ wnosimy, że

\[<br />
(3) \qquad  \quad (a, b, c) = (1,0,0) \ \textrm{ lub }\ (a,b,c) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right).<br />
\]

W każdym przypadku $ a >b $; przejście pierwszej z nierówności (1) w równość jest więc możliwe tylko dla $ p = 0 $. Wówczas $ q + r= 1 -p= 1 $; a skoro $ q,r \in \langle 0;\ \frac{1}{2} \rangle $, zatem $ q = r = \frac{1}{2} $, czyli

\[<br />
(4) \qquad  \quad (p,q,r)=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).<br />
\]

Wykazaliśmy w ten sposób, że jeśli dana w zadaniu nierówność staje się równością, to są spełnione warunki (3) i (4). Na odwrót, jeśli te warunki są spełnione, to zachodzi równość w każdym ze związków (1) i (2), i wobec tego wszystkie przeprowadzone szacowania są de facto ciągami równości. Rozważana nierówność przechodzi w równość.

[Zamiast powoływać się na owe szacowania można po prostu obliczyć wartość wyrażeń $ 8abc $ oraz $ pa + qb + rc $ dla trójek liczb (3) i (4).]

Odrzucając założenie, że $ a \geq b \geq c $, dostajemy odpowiedź: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy szóstka liczb $ (a,b,c,p,q,r) $ ma jedną z następujących postaci:

\[<br />
\begin{array}{ccc}<br />
(1,0,0,0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}), &     (0,1,0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}), & (0,0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),\\<br />
(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), & (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}), & (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0).<br />
\end{array}<br />
\]

Uwaga: Dla każdej trójki liczb $ a,b,c \geq 0 $ i dla każdej trójki wykładników $ p,q,r \geq 0 $ o sumie $ p + q + r = 1 $ zachodzi nierówność (5); wyrażenia figurujące w niej po lewej i prawej stronie noszą odpowiednio nazwy: średnia arytmetyczna ważona} i {\it średnia geometryczna ważona liczb $ a, b, c $ z wagami $ p, q, r $.

Szybki dowód dostaje się z nierówności Jensena dla funkcji wypukłej $ f(x)= e^x $:

\[<br />
e^{pu+qv+rw} \leq pe^u+qe^v + re^w \quad \textrm{dla dowolnych liczb } u,v,w \in \mathbb{R}.<br />
\]

(Obszerniejszy komentarz na temat funkcji wypukłych i nierówności Jensena można znaleźć na przykład w publikacji: XXXVII Olimpiada Matematyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 1989, str. 41-42.)

Gdy liczby $ a, b, c $ są dodatnie, wystarczy przyjąć $ u = \ln a $, $ v = \ln b $, $ w = \ln c $, aby otrzymać nierówność (5).

Gdy któraś (jedna lub więcej) z nieujemnych liczb $ a, b, c $ jest zerem, bierzemy dowolne ciągi liczb dodatnich $ (a_n), (b_<p>n), (c_n) $, zbieżne odpowiednio do $ a $, $ b $, $ c $; wykładniki $ p, q, r $ pozostają przy tym ustalone. Dla każdej trójki $ a_n,b_n,c_n $, zachodzi nierówność analogiczna do (5), więc w granicy otrzymujemy nierówność (5) dla rozważanej trójki $ a, b, c $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź