XLVII OM - I - Zadanie 8

Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija się od boków kwadratu zgodnie z zasadą kąt padania jest równy kątowi odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nigdy nie trafił w wierzchołek, ani nie przeszedł wcześniej przez środek. Dowieść, że liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych $ Oxy $ prowadzimy wszystkie proste o równaniach $ x = c $ ($ c $ całkowite) oraz $ y = c $ ($ c $ całkowite); w ten sposób cała płaszczyzna zostaje pokryta nieskończoną siatką kwadratów jednostkowych. W każdej parze kwadratów o wspólnym boku identyfikujemy punkty symetryczne względem tego boku (rysunek 5). Tak więc, na przykład, punkt $ X = (u,v) $ w kwadracie $ OABC $ o wierzchołkach $ O = (0,0) $, $ A = (1,0) $, $ B = (1,1) $, $ C = (0,1) $ jest utożsamiony z punktami $ (2-u,v) $ oraz $ (u,2-v) $ w kwadratach jednostkowych przyległych do $ OABC $ od prawej strony i od góry, a także z dwoma punktami w dwóch kwadratach jednostkowych przyległych do $ OABC $ od lewej strony i od dołu.

Poprzez symetrie względem dalszych prostych siatki, punkt ten ma swoje repliki we wszystkich kwadratach siatki - po jednej w każdym kwadracie jednostkowym. Środek kwadratu $ OABC $, czyli punkt $ P=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $, jak każdy inny, ma nieskończenie wiele kopii; są nimi środki wszystkich kwadratów siatki, czyli punkty postaci $ (\frac{1}{2}+ m, \frac{1}{2} +n) $, gdzie $ m, n $ mogą być dowolnymi liczbami całkowitymi.

Możemy zakładać, że $ OABC $ jest tym kwadratem, którego dotyczy zadanie, oraz że promień świetlny został wysłany z punktu $ P $ ,,w prawo w górę'' (wzdłuż odcinka prostej o dodatnim współczynniku kierunkowym). Pierwszy raz odbija się więc od boku $ AB $ lub $ BC $, w pewnym punkcie $ Q $. Następny raz trafia w brzeg kwadratu $ OABC $ w pewnym punkcie $ R $.

Fragment $ QR $ jego trajektorii ma swoją kopię $ QR' $ w kwadracie przyległym do $ OABC $ (przy boku $ AB $ lub $ BC $), która jest prostoliniowym przedłużeniem odcinka $ PQ $; prostoliniowość wynika z zasady odbicia. Istotnie: w sytuacji jak na rysunku, punkt $ R' $ jest symetryczny do $ R $ względem prostej $ AB $, wobec czego $ |\measuredangle BQR|= |\measuredangle BQR'| $; a skoro także $ |\measuredangle BQR|= |\measuredangle PQA| $ (zasada odbicia), zatem punkt $ R' $ leży na półprostej $ PQ^\to $.

Analogicznie, następny fragment drogi promienia ma w kolejnym kwadracie siatki swój obraz, będący przedłużeniem odcinka $ QR' $. I tak dalej: każdy kolejny fragment drogi można identyfikować z coraz to dalszym odcinkiem półprostej $ PQ^\to $. W ten sposób cała trajektoria promienia, od startu z punktu $ P $ do powrotu do punktu $ P $, odpowiada pewnej prostoliniowej drodze na płaszczyźnie, o początku w punkcie $ P $ i końcu w pewnym punkcie $ Z $, który jest jedną z replik środka kwadratu $ OABC $. Tak więc $ Z $ jest punktem postaci $ (\frac{1}{2} +m, \frac{1}{2} + n) $ dla pewnej pary liczb naturalnych $ m, n $.

Na odcinku $ PZ $ leży w szczególności punkt $ M=(\frac{1}{2}(1+m),\frac{1}{2}(1 + n)) $, środek tego odcinka. Jeśli obie liczby $ m, n $ są parzyste, to $ M $ jest środkiem pewnego kwadratu siatki, czyli obrazem środka $ P $ kwadratu $ OABC $. Jeśli obie liczby $ m, n $ są nieparzyste, to $ M $ jest punktem o współrzędnych całkowitych, czyli obrazem wierzchołka kwadratu $ OABC $. Każda z tych sytuacji jest wykluczona przez warunki zadania. Zatem liczby $ m $ i $ n $ są różnej parzystości, a więc ich suma jest liczbą nieparzystą.

Zauważmy jednak, że odcinek $ PZ $ przecina $ m $ prostych pionowych oraz $ n $ prostych poziomych, będących liniami siatki. Każdy taki punkt przecięcia odpowiada punktowi odbicia promienia od brzegu kwadratu $ OABC $. Jest to odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna, bowiem odcinek $ PZ $ nie przechodzi przez żaden węzeł siatki (,,promień nie trafił w wierzchołek kwadratu''). Stąd wniosek, że liczba odbić jest równa sumie $ m + n $; suma ta zaś - jak wykazaliśmy - jest liczbą nieparzystą. Teza jest więc udowodniona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź