XLVII OM - I - Zadanie 9

Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian $ x^2 - 12x + 11 $ resztę $ 990x - 889 $. Wykazaż, że wielomian te nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie

Zgodnie z założeniem, rozważany wielomian ma postać

\[<br />
(1) \qquad  \quad P(x) = (x-1)(x-11)Q(x) + (990x-889),<br />
\]

gdzie $ Q(x) $ jest pewnym wielomianem.

Dalsze rozumowanie opiera się na następującym spostrzeżeniu: dla każdej pary różnych liczb całkowitych $ k, m $

\[<br />
(2) \qquad  \quad \ \textrm{liczba}\ P(k) - P(m) \ \textrm{dzieli się przez} \ k - m.<br />
\]

[Uzasadnienie: jeżeli $ P(x) = a_0 + a_1x + \ldots +a_nx^n $ ($ a_i $ całkowite), to różnica $ P(k) - P(m) $ jest sumą składników $ a_i(k^i-m^i) $ dla $ i = 1,\ldots,n $, a każdy z tych składników dzieli się przez $ k - m $.]

Przypuśćmy, że wielomian $ P(x) $ ma pierwiastek całkowity $ x_0 $. Przyjmując w (2) $ k = 1, m = x_0 $, a następnie $ k = 11, m = x_0 $, stwierdzamy, że

\[<br />
(3) \qquad  \quad P(1)  \ \textrm{dzieli się przez}\ 1-x_0, \quad P(11) \ \textrm{dzieli się przez}\  11-x_0.<br />
\]

Ale z przedstawienia (1) widać, że $ P(1) = 101 $, a $ P(11) = 10001 $. Różnica $ 1-x_0 $, jako dzielnik liczby pierwszej $ P(1) = 101 $, musi być jedną z liczb: $ -101 $, $ -1 $, $ 1 $, $ 101 $. Dla tych wartości $ x_0 $ różnica $ 11 -x_0 $ przyjmuje odpowiednio wartości: $ -91 $, $ 9 $, $ 11 $, $ 111 $. Wszelako żadna z nich nie jest dzielnikiem liczby $ P(11) = 10001 ( = 73 \cdot 137) $.

Jednoczesne spełnienie warunków (3) nie jest więc możliwe. Sprzeczność dowodzi, że wielomian $ P(x) $ nie ma pierwiastka całkowitego.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź