XLVII OM - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, czy istnieją takie dwa przystające sześciany o wspólnym środku, że każda ściana pierwszego sześcianu ma punkt wspólny z każdą ścianą drugiego sześcianu.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że nie istnieją dwa sześciany $ \mathcal{C} $ i $ \mathcal{C'} $, dla których byłby spełniony warunek:

$ \quad (*) \quad $ każda ściana sześcianu $ \mathcal{C} $ ma punkty wspólne z każdą ścianą $ \mathcal{C'} $.

Podane w zadaniu dodatkowe założenia (przystawanie, wspólny środek) nic są do niczego potrzebne.

Niech więc będą dane dwa sześciany $ \mathcal{C} $ i $ \mathcal{C'} $. Ponieważ w zdaniu (*) role symboli $ \mathcal{C} $ i $ \mathcal{C'} $ są symetryczne, można bez szkody dla ogólności przyjąć, że długość krawędzi sześcianu $ \mathcal{C'} $ jest nie mniejsza niż długość krawędzi sześcianu $ \mathcal{C} $. Pokażemy trzema sposobami, że warunek (*) nie może być spełniony.

Niech $ \mathcal{C} $ będzie sześcianem o krawędzi jednostkowej, a $ \mathcal{C'} $ - sześcianem o krawędzi długości $  \geq 1 $. Wybierzmy dwie przeciwległe ściany $ \mathcal{S} $ i $ \mathcal{T} $ sześcianu $ \mathcal{C'} $. Płaszczyzna ściany $ \mathcal{S} $ dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie; oznaczmy przez $ \mathcal{H} $ tę półprzestrzeń, która nie zawiera kwadratu $ \mathcal{T} $. Przyjmijmy, że $ \mathcal{H} $ jest półprzestrzenią domkniętą; to znaczy, że płaszczyzna ściany $ \mathcal{S} $ jest podzbiorem zbioru $ \mathcal{H} $.

Przypuśćmy, że w zbiorze $ \mathcal{H} $ znajdują się dwa wierzchołki $ A $, $ B $ sześcianu $ \mathcal{C} $, nie będące końcami jednej krawędzi. Oznaczmy środek odcinka $ AB $ przez $ M $; jest to także punkt zbioru $ \mathcal{H} $.

Jeżeli $ AB $ jest jedną z czterech przekątnych sześcianu $ \mathcal{C} $ przecinających jego wnętrze, to $ M $ jest jego środkiem. Każdy punkt sześcianu $ \mathcal{C} $ jest odległy od $ M $ co najwyżej o $ \frac{1}{2} \sqrt{3} $. Jest to liczba mniejsza niż $ 1 $. Ponieważ odległość kwadratu $ \mathcal{T} $ od półprzestrzeni $ \mathcal{H} $ wynosi co najmniej $ 1 $, zatem kwadrat $ \mathcal{T} $ nie zawiera żadnego punktu sześcianu $ \mathcal{C} $.

Jeżeli $ AB $ jest przekątną jednej ze ścian sześcianu $ \mathcal{C} $, to $ M $ jest środkiem tej ściany. Wszystkie jej punkty są odległe od $ M $ co najwyżej o $ \frac{1}{2} \sqrt{2} $, wobec czego cała ta ściana jest rozłączna z kwadratem $ \mathcal{T} $.

Pozostaje do rozpatrzenia sytuacja, gdy w zbiorze $ \mathcal{H} $ albo nie ma żadnego wierzchołka sześcianu $ \mathcal{C} $, albo jest dokładnie jeden wierzchołek, albo są dokładnie dwa wierzchołki, połączone krawędzią. Pozostałe wierzchołki (w liczbie $ 8 $, $ 7 $ lub $ 6 $) leżą poza zbiorem $ \mathcal{H} $: w każdym przypadku można wśród nich znaleźć cztery punkty będące wierzchołkami pewnej ściany sześcianu $ \mathcal{C} $. Ściana ta nie ma punktów wspólnych ze zbiorem $ \mathcal{H} $, a więc nie ma punktów wspólnych ze ścianą $ \mathcal{S} $ sześcianu $ \mathcal{C} $.

Wykazaliśmy, że sześcian $ \mathcal{C} $ ma ścianę rozłączną albo z $ \mathcal{S} $, albo z $ \mathcal{T} $. Warunek (*) nie może być spełniony.

Uwaga 2. Zastępując w treści zadania słowo sześciany wszędzie przez równoległościany dostajemy problem znacznie ogólniejszy. Autor niniejszego opracowania nie zna odpowiedzi na pytanie zawarte; w tak przeformułowanym zadaniu.

Uwaga 3. Kostką czterowymiarową nazywamy podzbiór czterowymiarowej przestrzeni $ \mathbb{R}^4 $ podobny do zbioru

\[<br />
\mathcal{C} = \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4:   |x_i| \leq 1 \quad \textrm{dla}\ i = 1,2,3,4 \}<br />
\]

(podobny w sensie geometrycznym). Podzbiór zbioru $ \mathcal{C} $ złożony z punktów o pierwszej współrzędnej równej $ 1 $ jest izometryczny z trójwymiarowym sześcianem; to samo można powiedzieć o pozostałych siedmiu podzbiorach zbioru $ \mathcal{C} $ otrzymanych przez ustalenie którejkolwiek współrzędnej i nadanie jej wartości $ 1 $ lub wartości $ -1 $. Te podzbiory nazywamy ścianami kostki $ \mathcal{C} $. Jeśli $ \mathcal{C'} $ jest inną kostką, otrzymaną z kostki $ \mathcal{C} $ przez podobieństwo, to obrazy ścian kostki $ \mathcal{C} $ w tym podobieństwie tworzą ściany kostki $ \mathcal{C'} $.

Dla kostek czterowymiarowych można postawić problem analogiczny do rozpatrywanego w zadaniu: czy istnieją w przestrzeni $ \mathbb{R}^4 $ takie dwie kostki, że każda ściana jednej z nich ma punkty wspólne z każdą ścianą drugiej? Odpowiedź może się wydać zaskakująca: w $ \mathbb{R}^4 $ takie pary istnieją. Podamy przykład - bez żadnych uzasadnień; sprawdzenie prawdziwości wszystkich stwierdzeń w następnym akapicie może być ambitnym zadaniem dla Czytelnika.

Jedną z kostek będzie zbiór $ \mathcal{C} $ zdefiniowany powyżej. Jej wierzchołkami są punkty postaci $ (\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1) $ (wybór znaków jest dowolny; kostka taka ma więc szesnaście wierzchołków). Weźmy teraz pod uwagę inną szesnastkę punktów: osiem punktów postaci $ (\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1) $, w których iloczyn współrzędnych równa się $ 1 $, oraz osiem punktów mających po trzy współrzędne równe $ 0 $, a pozostałą równą $ 2 $ lub $ -2 $. Ta szesnastka punktów także jest zbiorem wierzchołków czterowymiarowej kostki $ \mathcal{C'} $, i to przystającej do $ \mathcal{C} $. Przy tym każda trójwymiarowa ściana jednej kostki ma z każdą trójwymiarową ścianą drugiej kostki co najmniej jeden wspólny wierzchołek!

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź