XLVII OM - II - Zadanie 1

Rozstrzygnąć, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Rozwiązanie

Jeśli $ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n $ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to $ (P(x))^3 = b_0 + b_1x + b_2 x^2 + b_3 x^3 +\ldots + b_{3n}x^{3n} $; przy tym $ b_0 = a_0^3 $, $ b_1= 3a_0^2 a_1 $. Tak więc trzecia potęga wielomianu o współczynnikach całkowitych ma współczynnik przy $ x $ podzielny przez $ 3 $.

Również suma trzecich potęg takich wielomianów ma tę samą własność.

Zatem żaden wielomian, w którym współczynnik przy $ x $ nie jest podzielny przez $ 3 $ (na przykład $ W(x)=x $) nie jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź