XLVII OM - II - Zadanie 2

Okrąg o środku $ O $ wpisany w czworokąt wypukły $ ABCD $ jest styczny do boków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $, $ N $, przy czym proste $ KL $ i $ MN $ przecinają się w punkcie $ S $. Dowieść, że proste $ BD $ i $ OS $ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Oznaczmy rzuty prostokątne punktów $ B $ i $ D $ na prostą $ OS $ odpowiednio przez $ U $ i $ V $. Kąty $ OKB $, $ OLB $ i $ OUB $ są proste, a zatem punkty $ K $,$ L $ i $ U $ leżą na okręgu, którego średnicą jest odcinek $ OB $ (rysunek 7). (Punkt $ U $ może się pokrywać z $ O $ i nie można wówczas mówić o kącie $ OUB $; ale w takim przypadku stwierdzenie, że $ U $ jest punktem wspomnianego okręgu nie wymaga żadnego uzasadnienia.) Analogicznie, punkty $ M $, $ N $ i $ V $ leżą na okręgu, którego średnicą jest odcinek $ OD $. Stosując do tych okręgów twierdzenie o odcinkach siecznych otrzymujemy równości

\[<br />
|SK| \cdot |SL| = |SO| \cdot |SU| \quad \textrm{oraz} \quad |SM| \cdot |SN| = |SO| \cdot |SV|.<br />
\]

To samo twierdzenie, zastosowane do okręgu $ w $ wpisanego w czworokąt $ ABCD $ pokazuje, że lewe strony powyższych związków są równe. Zatem i prawe strony muszą być równe, czyli zachodzi równość $ |SU|=|SV| $; przy tym odcinki $ SU $ i $ SV $ są zawarte w półprostej $ SO^\to $. Stąd wniosek, że punkty $ U $ i $ V $ pokrywają się, i wobec tego prosta $ BD $ jest prostopadła do $ OS $.

Uwaga: Przeprowadzone rozumowanie nie zależy od tego, czy $ S $ jest punktem przecięcia półprostych $ KL^\to $ i $ NM^\to $, czy półprostych $ LK^\to $ i $ MN^\to $. Ta sama uwaga odnosi się także i do dalszych sposobów rozwiązania.

om47_2r_img_7.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź