XLVII OM - II - Zadanie 5

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $ (x,y) $ spełniające równanie

\[<br />
x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Podstawiamy $ x = u + 1 $, $ y = v + 1 $ i przekształcamy równanie:

\[<br />
\begin{split}<br />
(u + 1)^2v + (v + 1)^2u = 1; \\<br />
(u + v)uv + 4uv + (u + v) = 1; \\<br />
(u + v + 4)(uv + 1) = 5.<br />
\end{split}<br />
\]

Jeden z czynników otrzymanego iloczynu musi być równy $ 5 $ lub $ -5 $, a drugi (odpowiednio) $ 1 $ lub $ -1 $.

Stąd wynika, że liczby $ u + v $ oraz $ uv $ spełniają jeden z następujących układów równań:

\[<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
u+v&=1 \\<br />
uv&=0,<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\quad\left\{<br />
\begin{split}<br />
u+v & = -9 \\<br />
uv& = -2,<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\quad<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
u+v & = -3 \\<br />
uv& =4,<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\quad<br />
\left\{<br />
\begin{split}<br />
u+v & = -5 \\<br />
uv& =-6.<br />
\end{split}<br />
\right.<br />
\]

W takim razie liczby $ u $ i $ w $ są pierwiastkami jednego z następujących trójmia-nów kwadratowych:

\[<br />
t^2-t; \quad t^2 + 9t -2; \quad t^2 + 3t + 4; \quad t^2 + 5t-6.<br />
\]

Pierwszy z nich ma pierwiastki $ 0 $, $ 1 $, ostatni zaś - pierwiastki $ -6 $, $ 1 $; pozostałe dwa nie mają pierwiastków całkowitych. Daje to następujące rozwiązania $ (x,y) $ rozważanego równania: $ (1,2) $, $ (2,1) $, $ (-5,2) $, $ (2,-5) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź