XLVII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie pary $ (n,r) $, gdzie $ n $ jest liczbą całkowitą dodatnią $ r $ zaś liczbą rzeczywistą, dla których wielomian $ (x + 1)^n - r $ jest podzielny przez wielomian $ 2x^2 + 2x + 1 $.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $ Q_n(x) $ i $ R_n(x) $ odpowiednio iloraz i resztę z dzielenia wielomianu $ (x + 1)^n $ przez $ 2x^2 + 2x + 1 $. Para $ (n,r) $ jest jedną z szukanych par wtedy i tylko wtedy, gdy $ R_n(x) $ jest wielomianem stałym, równym tożsamościowo $ r $.

Dla $ n = 1,2,3,4 $ mamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
& \left(x + 1\right)^1 =0\cdot\left(2x^2 + 2x + 1\right) + \left(x + 1\right),\\<br />
& (x + 1)^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(2x^2 + 2x +1\right) + \left(x + \frac{1}{2}\right),\\<br />
& (x +1)^3 = \left(\frac{1}{2}x +1\right) \left(2x^2 + 2x +1\right) + \frac{1}{2}x,\\<br />
& (x + 1)^4=\left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{5}{4}\right)\left(2x^2 + 2x + 1\right)-\frac{1}{4}.<br />
\end{split}<br />
\]

Tak więc

\[<br />
(1) \qquad  R_1(x) = x + 1,\quad    R_2(x) = x+\frac{1}{2},\quad    R_3(x) = \frac{1}{2}x, \quad    R_4(x) = -\frac{1}{4}.<br />
\]

Dla każdej liczby całkowitej $ n \geq 0 $ zachodzi równość

\[<br />
\begin{split}<br />
(x + 1)^{n+4} & = (x + 1)^n(x + 1)^4 = \\<br />
& = \left(Q_n(x)(2x^2 + 2x + 1) + R_n(x)\right)\left(Q_4(x)(2x^2 + 2x + 1)- \frac{1}{4}\right) =\\<br />
& = (\textrm{wielomian podzielny przez}\ (2x^2 + 2x + 1)) - \frac{1}{4}R_n(x).<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec tego $ R_{n+4}(x) = -\frac{1}{4}R_n(x) $. Stąd oraz ze wzorów (1) otrzymujemy przez indukcję następujące równości (dla $ k = 1,2,3,\ldots $):

\[<br />
\begin{array}{ll}<br />
R_{4k}(x)   = \left(-\frac{1}{4}\right)^k, & R_{4k+1}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k(x + 1),\\<br />
R_{4k+2}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k\left(x + \frac{1}{2}\right), & R_{4k+3}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{1}{2}x\right).<br />
\end{array}<br />
\]

Jak widać, $ R_n(x) $ jest wielomianem stałym tylko dla $ n = 4k $; jego stała wartość wynosi wówczas $ ( -\frac{1}{4})^k $.

Wniosek: szukane pary $ (n,r) $ mają postać $ (4k,(-\frac{1}{4})^k) $, gdzie $ k $ jest liczbą całkowitą dodatnią.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź